【題目】如圖,矩形AOBC的頂點坐標(biāo)分別為A(0,3),O(0,0),B(4,0),C(4,3),動點F在邊BC上(不與B.C重合),過點F的反比例函數(shù)y=的圖象與邊AC交于點E,直線EF分別與y軸和x軸相交于點D和G.給出下列命題:①若k=4,則△OEF的面積為;②若k=,則點C關(guān)于直線EF的對稱點在x軸上;③滿足題設(shè)的k的取值范圍是0<k≤12;④若DEEG=,則k=1.其中正確的命題的序號是____________(填序號).
【答案】②④
【解析】
(1)若k=4,則計算,故命題①錯誤;
(2)如答圖所示,若k=,可證明直線EF是線段CN的垂直平分線,故命題②正確;
(3)因為點F不經(jīng)過點C(4,3),所以k≠12,故命題③錯誤;
(4)求出直線EF的解析式,得到點D、G的坐標(biāo),然后求出線段DE、EG的長度;利用算式DEEG=,求出k=1,故命題④正確.
命題①錯誤,理由如下:
∵k=4,
∴
∴
∴S△OEF=S矩形AOBCS△AOES△BOFS△CEF
=S矩形AOBC,
∴,故命題①錯誤;
命題②正確,理由如下:
∵
∴
∴
如答圖,過點E作EM⊥x軸于點M,則EM=3,OM=;
在線段BM上取一點N,使得EN=CE=,連接NF.
在Rt△EMN中,由勾股定理得:
∴
在Rt△BFN中,由勾股定理得:
∴NF=CF,
又∵EN=CE,
∴直線EF為線段CN的垂直平分線,即點N與點C關(guān)于直線EF對稱,
故命題②正確;
命題③錯誤,理由如下:
由題意,點F與點C(4,3)不重合,所以k≠4×3=12,故命題③錯誤;
命題④正確;理由如下:
為簡化計算,不妨設(shè)k=12m,
設(shè)直線EF的解析式為y=ax+b,則有
解得
∴
令x=0,得y=3m+3,∴D(0,3m+3);
令y=0,得x=4m+4,∴G(4m+4,0).
如答圖,過點E作EM⊥x軸于點M,則OM=AE=4m,EM=3.
在Rt△ADE中,AD=ODOA=3m,AE=4m,由勾股定理得:DE=5m;
在Rt△MEG中,MG=OGOM=(4m+4)4m=4,EM=3,由勾股定理得:EG=5.
∴DEEG=5m×5=25m=,解得 ,
∴k=12m=1,故命題④正確,
綜上所述,正確的命題是:②④,
故答案為:②④.
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【題目】隨著人民的生活水平的不斷提高,學(xué)生身邊的零用錢也多了.夏雪同學(xué)調(diào)查了班級同學(xué)身上有多少零用錢,將每位同學(xué)的零用錢記錄下來,下面是全班40名同學(xué)的零用錢的數(shù)目(單位:元)
2,5,0,5,2,5,6,5,0,5,5,5,2,5,8,0,5,5,2,5,
5,8,6,5,2,5,5,2,5,6,5,5,0,6,5,6,5,2,5,0.
(1)請你寫出同學(xué)的零用錢(0元,2元,5元,6元8元)出現(xiàn)的頻數(shù);
(2)求出同學(xué)的零用錢的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù);
(3)假如老師隨機問一個同學(xué)的零用錢,老師最有可能得到的回答是多少元?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,P是拋物線y=-x2+3x上一點,且在x軸上方,過點P分別向x軸、y軸作垂線,得到矩形PMON.若矩形PMON的周長隨點P的橫坐標(biāo)m增大而增大,則m的取值范圍是_________.
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【題目】某乒乓球館使用發(fā)球機進(jìn)行輔助訓(xùn)練,出球口在桌面中線端點A處的正上方,如果每次發(fā)出的乒乓球的運動路線固定不變,且落在中線上,在乒乓球從發(fā)射出到第一次落在桌面的運行過程中,設(shè)乒乓球與端點A的水平距離為x(米),距桌面的高度為y(米),運行時間為t(秒),經(jīng)多次測試后,得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù):
t(秒) | 0 | 0.16 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.64 | 0.8 | … |
x(米) | 0 | 0.4 | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.6 | 2 | … |
y(米) | 0.25 | 0.378 | 0.4 | 0.45 | 0.4 | 0.378 | 0.25 | … |
(1)如果y是t的函數(shù),
①如圖,在平面直角坐標(biāo)系tOy中,描出了上表中y與t各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點.請你根據(jù)描出的點,畫出該函數(shù)的圖象;
②當(dāng)t為何值時,乒乓球達(dá)到最大高度?
(2)如果y是關(guān)于x的二次函數(shù),那么乒乓球第一次落在桌面時,與端點A的水平距離是多少?
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【題目】隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進(jìn),廣東省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè),據(jù)統(tǒng)計,目前廣東5G基站的數(shù)量約1.5萬座,計劃到2020年底,全省5G基站數(shù)是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站數(shù)量將達(dá)到17.34萬座。
(1)計劃到2020年底,全省5G基站的數(shù)量是多少萬座?;
(2)按照計劃,求2020年底到2022年底,全省5G基站數(shù)量的年平均增長率。
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l: 與x軸.y軸交于B,A兩點,點D,C分別為線段AB,OB的中點,連結(jié)CD,如圖,將△DCB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角,如圖.
(1)連結(jié)OC,AD,求證∽;
(2)當(dāng)0°<<180°時,若△DCB旋轉(zhuǎn)至A,C,D三點共線時,求線段OD的長;
(3)試探索:180°<<360°時,是否還有可能存在A,C,D三點共線的情況,若存在,求出此直線的表達(dá)式;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,動點P從點B出發(fā),沿折線B→A→C路線勻速運動到C停止,動點Q從點C出發(fā),沿折線C→B→A路線勻速運動到A停止,如點P、Q同時出發(fā)運動t秒后,如圖(2)是△BPC的面積S1(cm2)與t(秒)的函數(shù)關(guān)系圖象,圖(3)是△AQC的面積S2(cm2)與t(秒)的函數(shù)關(guān)系圖象:
(1)點P運動速度為 cm/秒;Q運動的速度 cm/秒;
(2)連接PQ,當(dāng)t為何值時,PQ∥BC;
(3)如圖(4)當(dāng)運動t(0≤t≤2)秒時,是否存在這樣的時刻,使以PQ為直徑的⊙O與Rt△ABC的一條邊相切,若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
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