Question

如圖，E為矩形ABCD的邊CD上的一點(diǎn)（CE＞DE），AE⊥BE．以AE為直徑作⊙O，交AB于F．點(diǎn)G為BE的中點(diǎn)，連接FG．
（1）求證：FG為⊙O的切線；
（2）若CD=25，AD=12，求FG的長．

Answer 1

解：（1）連接OF、EF、OG；
∵AE是⊙O的直徑，AF⊥EF，
∴∠AFE=90°=∠EFB=∠AEB，
又∵G是BE的中點(diǎn)，
∴EG=BE=FG；
∵OE=OF，OG=OG，
∴△OEG≌△OFG（SSS），
∴∠OFG=∠OEG=90°，
∴OF⊥FG，
∴FG為⊙O的切線．

（2）設(shè)DE=x，則EC=25-x；
∵四邊形ABCD是矩形，AD=12，
∴∠D=∠C=90°，BC=AD=12，
∴∠CEB+∠CBE=90°；
由（1）知，∠AEB=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEA=∠CBE，
∴△ADE∽△ECB，
∴，
∴，
解得，x₁=9，x₂=16；
當(dāng)x=9時，25-x=16，即DE=9，EC=16；
當(dāng)x=16時，25-x=9，即DE=16，EC=9；
∵CE＞DE，
∴不合題意舍去；
在Rt△ECB中，
∵EB²=EC²+BC²，
∴EB=，
由（1）知得，F(xiàn)G=EB=10．
分析：（1）要證明FG是⊙O的切線只要證明∠OFG=90°即可；
（2）設(shè)DE=x，則EC=25-x，由已知可求得△ADE∽△ECB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求得DE的長，從而可求得CE的長；再根據(jù)勾股定理求得EB的長，么FG的長就不難求了．
點(diǎn)評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．本題還要會熟練運(yùn)用三角形的相似比作為相等關(guān)系列方程求解．