【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),直線l:x=1,點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)E,點(diǎn)F,點(diǎn)M都在直線l上,且點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng),直線EA與直線OF交于點(diǎn)P.
(Ⅰ)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,﹣1),
①當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,1)時(shí),如圖,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②當(dāng)點(diǎn)F為直線l上的動(dòng)點(diǎn)時(shí),記點(diǎn)P(x,y),求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.
(Ⅱ)若點(diǎn)M(1,m),點(diǎn)F(1,t),其中t≠0,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q,當(dāng)OQ=PQ時(shí),試用含t的式子表示m.
【答案】解:(Ⅰ)①∵點(diǎn)O(0,0),F(xiàn)(1,1),
∴直線OF的解析式為y=x.
設(shè)直線EA的解析式為:y=kx+b(k≠0)、
∵點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M(1,﹣1)對(duì)稱(chēng),
∴E(1,﹣3).
又∵A(2,0),點(diǎn)E在直線EA上,
∴ ,
解得 ,
∴直線EA的解析式為:y=3x﹣6.
∵點(diǎn)P是直線OF與直線EA的交點(diǎn),則 ,
解得 ,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,3).
②由已知可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是(1,t).
∴直線OF的解析式為y=tx.
設(shè)直線EA的解析式為y=cx+d(c、d是常數(shù),且c≠0).
由點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M(1,﹣1)對(duì)稱(chēng),得點(diǎn)E(1,﹣2﹣t).
又點(diǎn)A、E在直線EA上,
∴ ,
解得 ,
∴直線EA的解析式為:y=(2+t)x﹣2(2+t).
∵點(diǎn)P為直線OF與直線EA的交點(diǎn),
∴tx=(2+t)x﹣2(2+t),即t=x﹣2.
則有 y=tx=(x﹣2)x=x2﹣2x;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,直線OF的解析式為y=tx.
直線EA的解析式為y=(t﹣2m)x﹣2(t﹣2m).
∵點(diǎn)P為直線OF與直線EA的交點(diǎn),
∴tx=(t﹣2m)x﹣2(t﹣2m),
化簡(jiǎn),得 x=2﹣ .
有 y=tx=2t﹣ .
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2﹣ ,2t﹣ ).
∵PQ⊥l于點(diǎn)Q,得點(diǎn)Q(1,2t﹣ ),
∴OQ2=1+t2(2﹣ )2,PQ2=(1﹣ )2,
∵OQ=PQ,
∴1+t2(2﹣ )2=(1﹣ )2,
化簡(jiǎn),得 t(t﹣2m)(t2﹣2mt﹣1)=0.
又∵t≠0,
∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0,
解得 m= 或m= .
則m= 或m= 即為所求.
【解析】(Ⅰ)①根據(jù)題意可知直線OF是正比例函數(shù),根據(jù)點(diǎn)F的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出此函數(shù)的解析式;再根據(jù)點(diǎn)F、點(diǎn)M的坐標(biāo)及點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng),可求出點(diǎn)E的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法由點(diǎn)A、點(diǎn)E的坐標(biāo)就可求得直線AE的函數(shù)解析式;再由兩直線聯(lián)立方程組,解方程組即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);②由已知可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是(1,t),設(shè)直線OF的解析式為y=tx,設(shè)直線EA的解析式為y=cx+d,再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出點(diǎn)E的坐標(biāo),再將A、E的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,即可求出直線AE的函數(shù)解析式;根據(jù)點(diǎn)P為直線OF與直線EA的交點(diǎn),將兩函數(shù)解析式聯(lián)立方程組,即可求出t的值,就得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式。
(Ⅱ)由直線OF的解析式和直線EA的解析式聯(lián)立方程組,求出交點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)PQ⊥l于點(diǎn)Q,分別求出OQ2,PQ2,再根據(jù)OQ=PQ,即可求出m的值。
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參賽者編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
成績(jī)/分 | 96 | 88 | 86 | 93 | 86 |
A.96,88
B.86,88
C.88,86
D.86,86
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A.體育場(chǎng)離張強(qiáng)家2.5千米
B.張強(qiáng)在體育場(chǎng)鍛煉了15分鐘
C.體育場(chǎng)離早餐店4千米
D.張強(qiáng)從早餐店回家的平均速度是 千米/小時(shí)
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