Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿折線A﹣B﹣C﹣A運動，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒．

（1）AC＝　 　cm；

（2）若點P恰好在AB的垂直平分線上，求此時t的值；

（3）在運動過程中，當(dāng)t為何值時，△ACP是以AC為腰的等腰三角形（直接寫出結(jié)果）？

Answer 1

【答案】（1）3；（2）t為秒或秒；（3）t為3秒或秒或6秒．

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理可以得到，代入數(shù)值計算即可；

（2）點P恰好在AB的垂直平分線上時，分兩種情況討論：①當(dāng)點P運動到點D時；②當(dāng)點P運動到點E時，根據(jù)圖形計算即可；

（3）若△ACP是等腰三角形，分情況討論：①當(dāng)AP＝AC時；②當(dāng)CA＝CP時，利用勾股定理，三角形面積相等來計算即可．

（1）如甲圖所示：

∵∠ACB＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

在ABC中，由勾股定理得，

，

又AB＝5cm，BC＝4cm，

，

故答案為3；

（2）點P恰好在AB的垂直平分線上時，

如乙圖所示：

∵DE是線段AB的垂直平分線，

∴AD＝BD＝，AE＝BE，

①當(dāng)點P運動到點D時，

∵AB＝5cm，點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度運動，

∴＝秒，

②當(dāng)點P運動到點E時，設(shè)BE＝x，則EC＝4﹣x，

∵AE＝BE，

∴AE＝x，

在Rt△AEC中，由勾股定理得，

∵AC＝3，AE＝x，EC＝4﹣x，

∴32+（4﹣x）2＝， 解得：x＝，

∴AB+BE＝，

∴秒，

即點P在AB的垂直平分線上時，運動時間t為秒或秒，

故答案為：秒或秒；

（3）運動過程中，△ACP是等腰三角形，

①當(dāng)AP＝AC時，如丙圖（1）所示：

∵AC＝3，

∴AP＝3，

∴＝3秒，

②當(dāng)CA＝CP時，如丙圖（2）所示：

若點P運動到時，AC＝C，過點C作CH⊥AB

交AB于點H，

∵，

AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，

∴CH＝cm，

在Rt△AHC中，由勾股定理得，

AH＝cm，

又∵A＝2AH＝cm，

∴秒，

若點P運動到時，AC＝C，

∵AC＝3cm，

∴C＝3cm，

又∵B＝BC﹣C，

∴B＝1cm，

∴AP+B＝5+1＝6cm，

∴＝6秒，

綜合所述，△ACP是以AC為腰的等腰三角形時，t為3秒或秒或6秒，

故答案為：3秒或秒或6秒．