Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，、，，其中、是方程的兩根，且，過點的直線與拋物線只有一個公共點

（1）求、兩點的坐標(biāo)；

（2）求直線的解析式；

（3）如圖2，點是線段上的動點，若過點作軸的平行線與直線相交于點，與拋物線相交于點，過點作的平行線與直線相交于點，求的長．

Answer 1

【答案】（1）A（-2，2），C（4，8）；（2）直線l的解析式為y=-2x-2或x=-2；（3）

【解析】

（1）解一元二次方程即可得出點A，C坐標(biāo)；（2）先設(shè)出直線l的解析式，再聯(lián)立拋物線解析式，用△=0，求出k的值，即可得出直線l的解析式；（3）設(shè)出點B的坐標(biāo)，進而求出BC，再表示出點D，E的坐標(biāo)，進而得出BD，BE，再判斷出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF．

解：（1）∵x1、x2是方程x2-2x-8=0的兩根，且x1＜x2，

∴x1=-2，x2=4，

∴A（-2，2），C（4，8）；

（2）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵A（-2，2）在直線l上，

∴2=-2k+b，

∴b=2k+2，

∴直線l的解析式為y=kx+2k+2①，

∵拋物線y=x2②，

聯(lián)立①②化簡得，x2-2kx-4k-4=0，

∵直線l與拋物線只有一個公共點，

∴△=（2k）2-4（-4k-4）=4k2+16k+16=4（k2+4k+4）=4（k+2）2=0，

∴k=-2，

∴b=2k+2=-2，

∴直線l的解析式為y=-2x-2；

②平行于y軸的直線和拋物線y=x2只有一個交點，

∵直線l過點A（-2，2），

∴直線l：x=-2；

（3）由（1）知，A（-2，2），C（4，8），

∴直線AC的解析式為y=x+4，

設(shè)點B（m，m+4），

∵C（4.8），

∴BC=|m-4|=（4-m）

∵過點B作y軸的平行線BE與直線l相交于點E，與拋物線相交于點D，

∴D（m，m2），E（m，-2m-2），

∴BD=m+4-m2，BE=m+4-（-2m-2）=3m+6，

∵DC∥EF，

∴△BDC∽△BEF，

∴ ，

∴ ，

∴BF=6．