Question

在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE為AB邊上的中線，且∠BCD=3∠DCA，求證：DE=DC．

Answer 1

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線,直角三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)：∠ACB=90°且∠BCD=3∠DCA求得∠BCD和∠DCA的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得∠A、∠B的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的性質(zhì)證明：∠DCE=∠CED，利用等角對(duì)等邊即可證得．

解答：解：∵∠ACB=90°且∠BCD=3∠DCA，
∴∠ACD=90°×

1

4

=22.5°，∠BCD=72.5°．
∴直角△ACD中，∠A=90°-22.5°=72.5°，
同理，∠B=22.5°．
∵直角△ABC中，CE為AB邊上的中線，
∴CE=

1

2

AB=BE，
∴∠BCE=∠B=22.5°，
∴∠DCE=∠DCB-∠BCE=45°，
又∵∠CED=∠B+∠BCE=22.5°+22.5°=45°，
∴∠DCE=∠CED，
∴DE=DC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰三角形的判定，正確求得∠DCE的度數(shù)是關(guān)鍵．