Question

已知拋物線y=-mx²+mx+n與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），且AB=5．
（1）請(qǐng)你寫出一個(gè)對(duì)于任意m，n值（滿足題意）都成立的結(jié)論，并說(shuō)明理由；
（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為B′，問(wèn)：是否存在△BCB′為等腰三角形的情形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的n值；若不存在，請(qǐng)直接作出否定的判斷，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式，所寫結(jié)論與m、n值無(wú)關(guān)即可，例如拋物線的對(duì)稱軸；
（2）把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后根據(jù)對(duì)稱軸與AB的長(zhǎng)度確定出點(diǎn)A、B到對(duì)稱軸的距離，從而得解；
（3）先求出點(diǎn)B′、C的坐標(biāo)，然后判斷出B′O＞BO，可得CB′≠CB，再分CB′=CB與BB′=B′C兩種情況利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為x=-

m

2•(-m)

=

1

2

（答案不唯一）；

（2）拋物線為y=-mx²+mx+n=-m（x²-x+

1

4

）+n+

1

4

=-m（x-

1

2

）²+n+

1

4

，
所以，對(duì)稱軸為x=

1

2

，
∵AB=5，
∴點(diǎn)A、點(diǎn)B到對(duì)稱軸的距離為

5

2

，
∴B（3，0），A（-2，0）；

（3）存在△BCB′為等腰三角形的情形．
由已知得B′（-7，0），C（0，n）且C為y軸上的點(diǎn)，B′O＞BO，
則不可能有CB′=CB的情況，因此存在下面兩種情況：
①若BB′=BC，則有10=

32+n2

，則有n=±

91

；
②若BB′=B′C，則有10=

n2+72

，則有n=±

51

；
所以，當(dāng)n值為±

91

或±

51

時(shí)，存在滿足上述條件的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱性，等腰三角形的性質(zhì)，（1）關(guān)鍵在于所寫結(jié)論與m、n值無(wú)關(guān)，（3）要根據(jù)等腰三角形腰長(zhǎng)的不同分情況討論．