Question

13．如圖，已知直線y=$\frac{1}{3}x$與雙曲線y=$\frac{k}{x}（k＞0）$交于A，B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為6，過原點O的另一條直線l交雙曲線y=$\frac{k}{x}（k＞0）$于P，Q兩點（P在第一象限），若由點A，B，P，Q為頂點的四邊形面積為20，則點P的坐標(biāo)為（4，3）或（9，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 先利用正比例函數(shù)解析式計算出A點坐標(biāo)，再把A點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，可得反比例函數(shù)解析式，根據(jù)雙曲線是關(guān)于原點的中心對稱圖形，因此△POA的面積就應(yīng)該是平行四邊形面積的四分之一，根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)P點的坐標(biāo)，最后根據(jù)梯形PEFA面積為5，列出方程求解，即可求出P點的坐標(biāo)．

解答 解：∵點A在直線y=$\frac{1}{3}x$上，且點A的橫坐標(biāo)為6，
∴當(dāng)x=6時，y=2，
∴A（6，2），
將點A（6，2）代入雙曲線y=$\frac{k}{x}（k＞0）$，
得k=6×2=12，
故雙曲線的解析式為y=$\frac{12}{x}$，
設(shè)點P的橫坐標(biāo)為n（n＞0且n≠6），
得P（n，$\frac{12}{n}$），
過點P、A分別作x軸的垂線，垂足為E、F，
∵點P、A在雙曲線上，
∴S_△POE=S_△AOF=6，
∴S_梯形PEFA=S_△POA
又∵反比例函數(shù)圖象是中心對稱圖形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四邊形APBQ是平行四邊形，
∴S_△POA=$\frac{1}{4}$S_{平行四邊形APBQ}=$\frac{1}{4}$×20=5，
∴S_梯形PEFA=5，
①若0＜n＜6，如圖，
由S_梯形PEFA=5可得，$\frac{1}{2}$（2+$\frac{12}{n}$）•（6-n）=5，
∴n=4，n=-9（舍去），
∴P（4，3）；
②若m＞6，如圖，
由S_梯形PEFA=5可得，$\frac{1}{2}$（2+$\frac{12}{n}$）•（n-6）=5，
解得n=9，n=-5（舍去），
∴P（9，$\frac{4}{3}$），
∴點P的坐標(biāo)是：（4，3）或（9，$\frac{4}{3}$）．
故答案為：（4，3）或（9，$\frac{4}{3}$）．

點評 本題主要考查了反比例解析式的確定和性質(zhì)、函數(shù)圖象交點問題，考核了學(xué)生綜合應(yīng)用知識解決問題的能力．解題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差關(guān)系來求解．