Question

（2012•縉云縣模擬）如圖點A，點B是反比例函數(shù)y=

k

x

上兩點，過這兩點的直線與x軸的夾角為45度，與y軸的交點為（0，2），作AC∥x軸，AC⊥BC于點C，
①求陰影部分面積（用k的代數(shù)式表示）；
②若BC和AC分別交x軸、y軸于D，E，連接DE，求證：△ABC∽△EDC；
③若S_△ABC=4，求出這兩個函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：①根據(jù)A、B為反比例函數(shù)上的點設出A、B兩點的坐標及過AB的直線解析式，把A、B兩點的坐標代入一次函數(shù)解析式可得直線AB的解析式，進而得到P、Q兩點的坐標，根據(jù)陰影部分的面積=S_△ABC-S_△OPQ計算即可；
②易得S_△BDE=S_△ADE，那么兩個三角形DE邊上的高相等，所以DE∥AB，可證得兩三角形相似；
③利用等腰直角三角形的定義易得P、Q兩點的坐標，設出一次函數(shù)解析式，把P、Q兩點坐標代入，即可求得一次函數(shù)解析式，根據(jù)△ABC的面積及形狀易得BC的邊長，進而判斷出點B的坐標，代入反比例函數(shù)，即可求得反比例函數(shù)解析式．

解答：解：①直線AB交兩坐標軸分別為P點和Q點，如圖，
設A（m，

k

m

），B（n，

k

n

），直線AB的解析式為y=ax+b，
∴

k

m

=ma+b，

k

n

=na+b，
∴a=-

1

mn

k，b=

m+n

mn

k，
∴直線AB的解析式為y=-

1

mn

kx+

m+n

mn

k，
∴P（0，

m+n

mn

k），Q（m+n，0），
∴S_陰影部分=S_△ABC-S_△OPQ=

1

2

（n-m）（

k

n

-

k

m

）-

1

2

[-（m+n）]•

m+n

mn

=2k；

②連DE、BE、AD，如圖，
∵S_△BDE=

1

2

•

k

n

•n=

1

2

k，S_△ADE=

1

2

•（-m）•（-

k

m

）=

1

2

k，
∴S_△BDE=S_△ADE，
∴兩個三角形DE邊上的高相等，
∴兩條高及直線DE、AB組成平行四邊形，
∴DE∥AB，
∴△ABC∽△EDC；

③由題意得：OP=OQ=2，
∴P（0，2），Q（-2，0），
設直線AB的解析式為y=kx+2，
-2k+2=0，
解得k=1，
∴y=x+2；
由題意得：△ABC為等腰直角三角形，
∵S_△ABC=4，
∴BC=2

2

，
∵DE∥AB，
∴△DEC為等腰直角三角形，
設B的橫坐標為a，作PF⊥BC于F，則DF=OP=2，BF=CD=EC=a，
∴2

2

-2a=2，
解得a=

2

-1，
∴BD=BC-CD=

2

+1，
∴k=（

2

-1）（

2

+1）=1，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

1

x

．

反比例函數(shù)：y=

1

x

；一次函數(shù)：y=x+2．

點評：綜合考查反比例函數(shù)的性質及應用；根據(jù)反比例函數(shù)的特點設出相關點的坐標是解決本題的突破點；注意常用同底的三角形的面積相等推導出兩直線平行．