Question

10．當(dāng)k是什么整數(shù)時，方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0只有正整數(shù)根？

Answer 1

分析 分方程為一元一次方程和一元二次方程考慮．①當(dāng)k²-1=0時，代入k=±1求出x的值，由此即可確定k的值；②當(dāng)k²-1≠0，即k≠±1時，由根的判別式以及求根公式找出x的值，再根據(jù)x為正整數(shù)找出k的值．綜合①②即可得出結(jié)論．

解答 解：①當(dāng)k²-1=0，即k=±1時，原方程為一元一次方程，
k=1時，有-12x+72=0，解得：x=6；
k=-1時，有24x+72=0，x為負(fù)數(shù)，此種情況不合適；
②當(dāng)k²-1≠0，即k≠±1時，原方程為一元二次方程，
△=[-6（3k-1）]²-4×（k²-1）×72=36（k-3）²≥0，
當(dāng)k=3時，△=0，此時方程的解為x=$\frac{6（3k-1）}{2（{k}^{2}-1）}$=3；
當(dāng)k≠3時，△＞0，
由求根公式可得：x₁=$\frac{6}{k-1}$，x₂=$\frac{12}{k+1}$，
∵x₁、x₂均為正整數(shù)，
∴k-1=1、2、3、6，k+1=1、2、3、4、6、12，
解得：k=2或k=3（舍去），
此時x₁=6，x₂=4．
綜上可知：當(dāng)k=1或2時，方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0只有正整數(shù)根．

點(diǎn)評 本題考查了根的判別式以及求根公式，解題的關(guān)鍵是分方程為一元一次方程和一元二次方程考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，充分考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為0是關(guān)鍵．