Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分線交AD于E，若AC=4，則：①△CDE的周長(zhǎng)比△CDA的周長(zhǎng)小4，②∠ACD=90°；③AE=ED=CE；④四邊形ABCD面積是12．則上述結(jié)論正確的是（ ）

A．①②④
B．①②③
C．②③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)AB=CD=3，AD=BC=5，又因?yàn)锳C=4，根據(jù)勾股定理，∠ACD=90°，四邊形ABCD面積為CD×AC=3×4=12，AC的垂直平分線交AD于E，所以AE=CE，（因?yàn)榇怪逼椒志�上的點(diǎn)到兩邊的距離相等），又∠ACD=90°所以CE=AE=CD，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即AE=DE=CE=2.5，所以△CDE的周長(zhǎng)比△CDA的周長(zhǎng)小4
解答：解：∵CD=AB=3，AD=BC=5，AC=4，
∴CD²+AC²=AD²，
∴∠ACD=90°，
故②正確．
∵∠ACD=90°，
∴四邊形ABCD面積為CD×AC=3×4=12．
故④正確．
∵AC的垂直平分線交AD于E，
∴AE=CE，
又∵∠ACD=90°，
∴AE=CE=DE=2.5，
故③正確．
∵AE=CE=DE=2.5，CD=3，AC=4，AD=5，
∴△CDE的周長(zhǎng)比△CDA的周長(zhǎng)小4，
故①正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理以及線段的垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)．