Question

【題目】已知拋物線G1：y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為（2，﹣3），且經(jīng)過點(diǎn)（4，1）．

（1）求拋物線G1的解析式；

（2）將拋物線G1先向左平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到拋物線G2，且拋物線G2與x軸的負(fù)半軸相交于A點(diǎn)，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如果直線m的解析式為，點(diǎn)B是（2）中拋物線G2上的一個(gè)點(diǎn)，且在對(duì)稱軸右側(cè)部分（含頂點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，直線n過點(diǎn)A和點(diǎn)B．問：是否存在點(diǎn)B，使直線m、n、x軸圍成的三角形和直線m、n、y軸圍成的三角形相似？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）：y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣4x+1，（2）A（﹣3，0）．（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）先設(shè)為頂點(diǎn)式，再把頂點(diǎn)坐標(biāo)和經(jīng)過的點(diǎn)（4，1）代入即可解決，

（2）根據(jù)平移規(guī)則直接寫出拋物線G2的解析式，令y=0，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，

（3）分為交點(diǎn)咋x軸上方，與下方進(jìn)行分析，根據(jù)相似確定角的大小，進(jìn)一步得到直線n的斜率，求出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)A（﹣3，0），運(yùn)用待定系數(shù)法，確定直線n的解析式，聯(lián)立拋物線G2，解方程組即可求解．

解：由拋物線G1：y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為（2，﹣3），且經(jīng)過點(diǎn)（4，1），

可設(shè)拋物線G1：y=a（x﹣2）2﹣3，

把（4，1）代入得：1=4a﹣3，解得：a=1，

所以拋物線G1：y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣4x+1，

（2）拋物線G1：y=（x﹣2）2﹣3先向左平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到拋物線G2：y=（x+1）2﹣4，

令y=0，得：0=（x+1）2﹣4，解得：x=﹣3，或x=1（舍去），

所以點(diǎn)A（﹣3，0）．

（3）直線m與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為F，E，

當(dāng)直線n與G2交點(diǎn)在x軸上方時(shí)，直線n與x軸，y軸的交點(diǎn)為A，D，與拋物線交點(diǎn)B，與直線m交與點(diǎn)C，

當(dāng)直線n與G2交點(diǎn)在x軸下方時(shí)，直線n1與x軸，y軸的交點(diǎn)為A，H，與拋物線交點(diǎn)B1，與直線m交與點(diǎn)L，

當(dāng)直線n與G2交點(diǎn)在x軸上方時(shí)，如圖1：

由題意△CDE∽△CFA，此時(shí)有：∠CDE=∠CFA，

直線m的解析式為，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣6，

∴點(diǎn)E（0，3），點(diǎn)F（﹣6，0），

∴OF=6，OE=3，

∴tan∠CDE=tan∠CFA=，

∴=，

∵OA=3，

∴OD=6，

點(diǎn)D（0，6），

設(shè)直線n：y=mx+n，把D（0，6），點(diǎn)A（﹣3，0）代入得：，

解得：，

∴直線n：y=2x+6，

聯(lián)立直線n和拋物線G2得：，

解得：x=3，或x=﹣3（舍去）

此時(shí)y=12，

所以：點(diǎn)B（3，12），

當(dāng)直線n與G2交點(diǎn)在x軸下方時(shí)，如圖2：

由題意△HLE∽△FLA，此時(shí)有：∠ELH=∠FLA=90°，

∠EHA=∠LFA，

直線m的解析式為，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣6，

∴點(diǎn)E（0，3），點(diǎn)F（﹣6，0），

∴OF=6，OE=3，

∴tan∠EHA=tan∠LFA=，

∴=，

∵OA=3，

∴OH=6，

點(diǎn)H（0，﹣6），

設(shè)直線n：y=mx+n，把D（0，﹣6），點(diǎn)A（﹣3，0）代入得：

解得：，

∴直線n：y=﹣2x﹣6，

聯(lián)立直線n和拋物線G2得：，

解得：x=﹣1，或x=﹣3（舍去）

此時(shí)y=﹣4，

所以：點(diǎn)B1（﹣1，﹣4），

綜上所述：存在點(diǎn)B，使直線m、n、x軸圍成的三角形和直線m、n、y軸圍成的三角形相似，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，12）和（﹣1，﹣4）．