Question

如圖，BC是半圓O的直徑，點(diǎn)G是半圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A為

BG

的中點(diǎn)，AD⊥BC于D且交BG于E，AC與BG交于點(diǎn)F．求證：BE=AE=EF．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：證明題

分析：連接AB，由圓周角定理知：AB⊥AC，在Rt△ABC中，AD⊥BC，易證∠BAD=∠C，根據(jù)點(diǎn)A為

BG

的中點(diǎn)可知

AB

=

AG

，可得∠ABE=∠C，所以∠ABE=∠BAD，即AE=BE；再根據(jù)∠C=∠ABF，可得Rt△ABF∽R(shí)t△ACB，故AF：BF=AB：BC，即AF•BC=AB•BF，再根據(jù)∠EAF+∠BAD=∠AFB+∠ABF=90°，∠BAD=∠ABE，可得出∠EAF=∠AFB，由此可得出結(jié)論．

解答：證明：連接AB．
∵BC為⊙O的直徑，
∴AB⊥AC．
又∵AD⊥BC，
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠C．
∵點(diǎn)A為

BG

的中點(diǎn)，
∴

AB

=

AG

，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD，
∴AE=BE．
∵∠C=∠ABF，
∴Rt△ABF∽R(shí)t△ACB，
∴AF：BF=AB：BC，即AF•BC=AB•BF，
∵∠EAF+∠BAD=∠AFB+∠ABF=90°，∠BAD=∠ABE，
∴∠EAF=∠AFB，
∴AE=EF=BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理，涉及到等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)．