Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為a，E為CD邊上一點（不與端點重合），將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF．給出下列判斷：①∠EAG＝45°；②若DE＝a，則AG∥CF；③若E為CD的中點，則△GFC的面積為a2；④若CF＝FG，則；⑤BGDE+AFGE＝a2．其中正確的是____________．（寫出所有正確判斷的序號）

Answer 1

【答案】①②④⑤．

【解析】

①由折疊得AD=AF=AB，再由HL定理證明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正誤；

②設(shè)BG=GF=x，由勾股定理可得求得BG=，進(jìn)而得GC=GF，得∠GFC=∠GCF，再證明∠AGB=∠GCF，便可判斷正誤；

③設(shè)BG=GF=y，則CG=a-y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的兩個三角形的面積比等于底邊之比，求得△CGF的面積，便可判斷正誤；

④證明∠FEC=∠FCE，得EF=CF=GF，進(jìn)而得EG=2DE，CG=CE=a-DE，由等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關(guān)系式便可得結(jié)論，進(jìn)而判斷正誤；

⑤設(shè)BG=GF=b，DE=EF=c，則CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得再得△CEG的面積為BGDE，再由五邊形ABGED的面積加上△CEG的面積等于正方形的面積得結(jié)論，進(jìn)而判斷正誤．

解：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=AD=a，

∵將△ADE沿AE對折至△AFE，

∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE，∠DAE=∠FAE，

在Rt△ABG和Rt△AFG中 ，

，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴∠BAG=∠FAG，

∴∠GAE=∠GAF+∠EAF=×90°=45°，故①正確；

② Rt△ABG≌Rt△AFG

∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，

設(shè)BG=GF=x，

∵DE=a，

∴EF=a， ∴CG=a-x，

在Rt△EGC中，EG=x+a，CE=a，

由勾股定理可得：

解得：

此時BG=GF=a，CG=a，

∴GC=GF， ∴∠GFC=∠GCF，

∵∠BGF=∠GFC+∠GCF，

∴2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，

∴∠AGB=∠GCF，

∴AG∥CF，/span> ∴②正確；

③若E為CD的中點，則DE=CE=EF=a，

設(shè)BG=GF=y，則CG=a-y，

由， 即

解得：y= a，

∴BG=GF=a，CG=

∴

∴S△CFG＝S△CEG＝ 故③錯誤；

④當(dāng)CF=FG，則∠FGC=∠FCG，

∵∠FGC+∠FEC=∠FCG+∠FCE=90°，

∴∠FEC=∠FCE， ∴EF=CF=GF，

∴BG=GF=EF=DE，

∴EG=2DE，CG=CE=a-DE，

∴ CE＝EG，即(aDE)＝2DE， ∴DE=， 故④正確；

⑤設(shè)BG=GF=b，DE=EF=c，則CG=a-b，CE=a-c，

由勾股定理得：

整理得：

∴S△CEG＝(ab)(ac)＝()=(bc+bc)＝bc，

即S△CEG=BGDE，

∵S△ABG=S△AFG，S△AEF=S△ADE，

∴S五邊形ABGED＝2S△AGE＝2×AFEG＝AFEG，

∵S五邊形BGED+S△CEG=S正方形ABCD，

∴BGDE+AFEG=故⑤正確．

故答案為：①②④⑤．