Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝ax2＋4ax＋c（a＜0）的圖像與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為點D，DH⊥x軸于H與AC交于點E．連接CD、BC、BE．若S△CBE∶S△ABE＝2∶3，

（1）點A的坐標為 ，點B的坐標為 ；

（2）連結(jié)BD，是否存在數(shù)值a，使得∠CDB＝∠BAC？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由；

（3）若AC恰好平分∠DCB，求二次函數(shù)的表達式．

Answer 1

【答案】（1） (－5，0)；(1，0)；（2）不存在；理由見解析；（3）y＝－x2－x＋

【解析】

（1）由 可得，即可求得，求出設直線EC的函數(shù)解析式為，求出A（-5，0），利用A、B關于拋物線對稱軸對稱即可得出B（1，0）；

（2）求出OC＝－5a，DH＝－9a，可得tan∠BAC＝＝－a，過點B作BF⊥BD交DC延長線于點F，過點F作FG⊥x軸于點G，由△BFG∽△DBH，利用相似三角性質(zhì)可求得，由 ，求得a=0，故不存在；

（3）連結(jié)AD，可得S△ACD＝S△ABC，由AC平分∠DCB，可得CD＝BC，列出方程，求得a＝，即可得出答案．

（1）∵y＝ax2＋4ax＋c

∴拋物線的對稱軸為x=-2

依題意得C（0，c）

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴

設直線EC的函數(shù)解析式為

∴

∴

∴

當y=0時，

∴x=-5

∴A（-5，0）

∵A、B關于直線x=-2對稱

∴B（1，0）

故答案為：A(－5，0)，B(1，0)

（2）將B（1，0）代入表達式得，c＝－5a，

∴OC＝－5a，DH＝－9a

∴tan∠BAC＝＝－a

過點B作BF⊥BD交DC延長線于點F，

過點F作FG⊥x軸于點G

△BFG∽△DBH

∴＝tan∠BAC

＝tan∠BAC＝－a

∴

∵ ，

∴，a＝0，

∴不存在

（3）解：連結(jié)AD，EH＝OC＝－3a，

∴S△ACD＝·DE·（xC－xA） ＝－15a

S△ABC＝·AB·OC ＝－15a，

∴S△ACD＝S△ABC

∵AC平分∠DCB，

∴CD＝BC

∴4＋16a2＝1＋25a2

解得，a1＝－，a2＝

∵a＜0，

∴a＝

∴y＝－x2－x＋