Question

12．如圖，已知AB為⊙O的直徑，過⊙O上的點C的切線交AB的延長線于點E，AD⊥EC于點D且交⊙O于點F，連接BC、CF、AC．
（1）求證：BC=CF．
（2）若CD=2$\sqrt{3}$，AF=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)首先得出CO⊥ED，再利用平行線的判定得出CO∥AD，進而利用圓周角、圓心角定理得出BC=CF；
（2）首先求出△CDF∽△ADC，進而得出DF的長，即可求出r的長．

解答 （1）證明：如圖，連接OC，
∵ED切⊙O于點C，
∴CO⊥ED，
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠CAD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$，
∴BC=CF；

（2）解：如圖，連接FO，
∵直線DC是⊙O的切線，C是切點，
∴∠FCD=∠CAF，
∵∠D=∠D，
∴△CDF∽△ADC，
∴$\frac{DC}{DF}$=$\frac{AD}{DC}$，
∴12=DF（DF+4），
解得：DF=2（負數(shù)舍去），
∴tan∠FCD=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠FCD=30°，F(xiàn)C=4，
∴∠OCF=60°，
，又∵CO=FO，
∴△OCF是等邊三角形，
∴⊙O的半徑為4．

點評 此題主要考查了切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出$\widehat{BC}$=$\widehat{CF}$是解題關(guān)鍵．