Question

18．已知A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOB=120°，C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)．
（Ⅰ）如圖①，求∠A的度數(shù)；
（Ⅱ）如圖②，延長(zhǎng)OA到點(diǎn)D，使OA=AD，連接DC，延長(zhǎng)OB交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為1，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OC，由∠AOB=120°，C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，易得△AOC是等邊三角形，繼而求得∠A的度數(shù)；
（Ⅱ）由OA=AD，易得△ODE是等腰三角形，OC⊥DE，繼而求得答案．

解答 解：（Ⅰ）在圖①中連接OC，如圖所示．
∵∠AOB=120°，C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
∵OA=OC，
∴△OAC是等邊三角形，
∴∠A=60°；
（Ⅱ）∵△OAC是等邊三角形，
∴OA=AC=AD，
∴∠D=30°，
∵∠AOB=120°，
∴∠D=∠E=30°，
∴OC⊥DE，
∵⊙O的半徑為1，
∴CD=CE=$\sqrt{3}$OC=$\sqrt{3}$，
∴DE=2CD=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．