Question

15．定義f（x）=x²+x+1，若素?cái)?shù)p，q滿足f（p）=f（q）+242，則有序數(shù)對(duì)（p，q）=（61，59）．

Answer 1

分析 根據(jù)定義和素?cái)?shù)p，q滿足f（p）=f（q）+242，可得（p-q）（p+q+1）=242，再將242分解成2×121和11×22，即可得出關(guān)于p、q的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

解答 解：∵定義f（x）=x²+x+1，素?cái)?shù)p，q滿足f（p）=f（q）+242，
∴p²+p+1=q²+q+1+242，即（p-q）（p+q+1）=242．
∵242=2×121=11×22，p、q為素?cái)?shù)，
∴p-q＜p+q+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{p-q=2}\\{p+q+1=121}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p-q=11}\\{p+q+1=22}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=61}\\{q=59}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p=16}\\{q=5}\end{array}\right.$，
∵p、q均為素?cái)?shù)，
∴有序數(shù)對(duì)（p，q）=（61，59）．
故答案為：（61，59）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)以及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是通過(guò)拆分242得出關(guān)于p、q的二元一次方程組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過(guò)分解合數(shù)得出方程（或方程組）是關(guān)鍵．