Question

在正方形ABCD中，AB=4．等腰直角板AEF的直角頂點(diǎn)為A，頂點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，AE=2，將三角板AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AE′F′的位置，連接DF′、BE′，問：若三角板AEF饒點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，AE′和DF′的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：如圖，作F′H⊥AD于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AE=AF=2，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DAF′=∠E′AB=60°，AF′=AE′=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在△AHF′中可計(jì)算出AH=

1

2

AF′=1，F(xiàn)′H=

3

AH=

3

，則DH=3，在Rt△DHF′中根據(jù)勾股定理得到DF′=2

3

，所以∠F′DH=30°，AF′=

3

3

DF′，則AE′=

3

3

DF′，然后根據(jù)平行線的判定定理證明AE′∥DF′．

解答：解：AE′=

3

3

DF′，AE′∥DF′．理由如下：
如圖，作F′H⊥AD于H，
∵△AEF為等腰直角三角形，
∴AE=AF=2，
∵三角板AEF饒點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AE′F′，
∴∠DAF′=∠E′AB=60°，AF′=AE′=2，
在△AHF′中，∵∠AF′H=30°，
∴AH=

1

2

AF′=1，F(xiàn)′H=

3

AH=

3

，
∴DH=AD-AH=4-1=3，
在Rt△DHF′中，DF′=

DH2+F′H2

=2

3

，
∴∠F′DH=30°，AF′=

3

3

DF′，
∴AE′=

3

3

DF′，
∵∠E′AD+∠F′DA=60°+90°+30°=180°，
∴AE′∥DF′．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．