Question

已知如圖，拋物線y=

1

2

x2+x-4交x軸于A、B兩點（A點在B點的左側），交y軸于點C，拋物線的頂點為D．
（1）求△ACD的面積；
（2）點M在拋物線對稱軸上，若△BCM為直角三角形，求出點M的坐標；
（3）點P在拋物線上，連接AP，若∠PAB=∠ACD，求點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令y=0，則

1

2

x²+x-4=0，解方程即可求得與x軸的交點A、B的坐標，令x=0，即可求得交y軸于點C的坐標，把y=

1

2

x²+x-4轉化成頂點式即可求得頂點D的坐標，然后求得直線AC的解析式，從而求得與對稱軸的交點G，進而求得DG，即可求得△ACD的面積．
（2）由于△BCM中，B、C、M都有可能是直角頂點，所以要分三種情況討論：①∠BCM=90°，②∠BMC=90°，③∠MBC=90°，在上述三種不同的直角三角形中，根據(jù)三角形相似可求得M的坐標．
（3）設P（m，

1

2

m²+m-4），作DE⊥AC于E，根據(jù)直線AC的解析式和D的坐標求得直線DE的解析式，進而求得與直線AC的交點，然后根據(jù)勾股定理求得DE、CE的長，然后根據(jù)△DCE∽△PAF，得出

1 2 m2+m-4

m+4

=3，即可求得m的值，進而求得P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x2+x-4交x軸于A、B兩點（A點在B點的左側），交y軸于點C，
令y=0，則

1

2

x²+x-4=0，解得x₁=-4，x₂=2，
∴A（-4，0），B（2，0），
令x=0，則y=-4，
∴C（0，-4），
∵

1

2

x²+x-4=

1

2

（x+1）²-

9

2

，
∴D（-1，-

9

2

），
∴直線AC的解析式為y=-x-4，
當x=-1時，y=-3，
∴直線AC與對稱軸的交點為（-1，-3），
設交點為G，
∴DG=

9

2

-3=

3

2

，
∴S_△ACD=

1

2

×

3

2

×4=3；

（2）設對稱軸與x軸的交點為H，
①點B是直角頂點時，易得△BHM∽△COB，
∴

BH

OC

=

MH

OB

，
即

3

4

=

MH

2

，
解得MH=

3

2

，
所以，點M的坐標為（-1，

3

2

）；
②點C是直角頂點時，設CK⊥對稱軸，同理求出MK=

1

2

，
所以，MH=4-

1

2

=

7

2

，
所以，點M的坐標為（-1，-

7

2

）；
③點M是直角頂點時，易得△VKM∽△MHB
設M（-1，n），
∴MH=-n，KM=4+n，
∴

KM

BH

=

CK

MH

，
即

4+n

3

=

1

-n

，
解得n=-3，n=-1，
所以M（-1，-3）或（-1，-1）；
綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點M（-1，

3

2

）或（-1，-

7

2

）或（-1，-3）或（-1，-1）．

（3）作DE⊥AC于E，
∵A（-4，0），C（0，-4），
∴直線AC為y=-x-4，
∴設直線DE的解析式為y=x+b，
把D（-1，-

9

2

）代入得，-

9

2

=-1+b，解得b=-

7

2

，
∴直線DE的解析式為y=x-

7

2

，
解

y=-x-4 y=x- 7 2

得

x=- 1 4 y=- 15 4

，
∴E（-

1

4

，-

15

4

），
∴CE=

2

4

，DE=

3 2

4

，
∵∠PAB=∠ACD，
∴△DCE∽△PAF，
∴

PF

AF

=

DE

CE

=3，
設P（m，

1

2

m²+m-4），
∴

1 2 m2+m-4

m+4

=3，解得m=8，或m=-4（舍去），
∴P（8，36）．

點評：此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、圖形面積的求法、勾股定理、直角三角形的判定等知識；需要注意的是（3）題中，由于直角三角形的直角頂點不確定，一定要分類討論，以免漏解．