Question

已知如圖，拋物線y=

1

2

x2+x-4交x軸于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求△ACD的面積；
（2）點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，若△BCM為直角三角形，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在拋物線上，連接AP，若∠PAB=∠ACD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）令y=0，則

1

2

x²+x-4=0，解方程即可求得與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，令x=0，即可求得交y軸于點(diǎn)C的坐標(biāo)，把y=

1

2

x²+x-4轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求得直線AC的解析式，從而求得與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)G，進(jìn)而求得DG，即可求得△ACD的面積．
（2）由于△BCM中，B、C、M都有可能是直角頂點(diǎn)，所以要分三種情況討論：①∠BCM=90°，②∠BMC=90°，③∠MBC=90°，在上述三種不同的直角三角形中，根據(jù)三角形相似可求得M的坐標(biāo)．
（3）設(shè)P（m，

1

2

m²+m-4），作DE⊥AC于E，根據(jù)直線AC的解析式和D的坐標(biāo)求得直線DE的解析式，進(jìn)而求得與直線AC的交點(diǎn)，然后根據(jù)勾股定理求得DE、CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)△DCE∽△PAF，得出

1 2 m2+m-4

m+4

=3，即可求得m的值，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x2+x-4交x軸于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，
令y=0，則

1

2

x²+x-4=0，解得x₁=-4，x₂=2，
∴A（-4，0），B（2，0），
令x=0，則y=-4，
∴C（0，-4），
∵

1

2

x²+x-4=

1

2

（x+1）²-

9

2

，
∴D（-1，-

9

2

），
∴直線AC的解析式為y=-x-4，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-3，
∴直線AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為（-1，-3），
設(shè)交點(diǎn)為G，
∴DG=

9

2

-3=

3

2

，
∴S_△ACD=

1

2

×

3

2

×4=3；

（2）設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為H，
①點(diǎn)B是直角頂點(diǎn)時(shí)，易得△BHM∽△COB，
∴

BH

OC

=

MH

OB

，
即

3

4

=

MH

2

，
解得MH=

3

2

，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，

3

2

）；
②點(diǎn)C是直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)CK⊥對(duì)稱(chēng)軸，同理求出MK=

1

2

，
所以，MH=4-

1

2

=

7

2

，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-

7

2

）；
③點(diǎn)M是直角頂點(diǎn)時(shí)，易得△VKM∽△MHB
設(shè)M（-1，n），
∴MH=-n，KM=4+n，
∴

KM

BH

=

CK

MH

，
即

4+n

3

=

1

-n

，
解得n=-3，n=-1，
所以M（-1，-3）或（-1，-1）；
綜上所述，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)M（-1，

3

2

）或（-1，-

7

2

）或（-1，-3）或（-1，-1）．

（3）作DE⊥AC于E，
∵A（-4，0），C（0，-4），
∴直線AC為y=-x-4，
∴設(shè)直線DE的解析式為y=x+b，
把D（-1，-

9

2

）代入得，-

9

2

=-1+b，解得b=-

7

2

，
∴直線DE的解析式為y=x-

7

2

，
解

y=-x-4 y=x- 7 2

得

x=- 1 4 y=- 15 4

，
∴E（-

1

4

，-

15

4

），
∴CE=

2

4

，DE=

3 2

4

，
∵∠PAB=∠ACD，
∴△DCE∽△PAF，
∴

PF

AF

=

DE

CE

=3，
設(shè)P（m，

1

2

m²+m-4），
∴

1 2 m2+m-4

m+4

=3，解得m=8，或m=-4（舍去），
∴P（8，36）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形面積的求法、勾股定理、直角三角形的判定等知識(shí)；需要注意的是（3）題中，由于直角三角形的直角頂點(diǎn)不確定，一定要分類(lèi)討論，以免漏解．