Question

【題目】如圖，在中，，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連結(jié)、、．

（1）求證：；

（2）若，求的度數(shù)．

（3）若點(diǎn)是的外心，當(dāng)點(diǎn)在直線的一個(gè)位置運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)位置時(shí)，點(diǎn)恰好在的內(nèi)部，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)走過(guò)的距離為_____．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或；（3）

【解析】

（1）根據(jù)SAS即可證得結(jié)論；

（2）分兩種情況，由∠BAC得到∠BAD，求出∠BDA，根據(jù)即可得到答案；

（3）當(dāng)點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，且當(dāng)DB=CB時(shí)，△CAD的外心P與頂點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)D向點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC的中點(diǎn)，由此根據(jù)三角函數(shù)求出點(diǎn)P走過(guò)的距離即可.

（1）∵，

∴∠CBE=,

∵AB=CB，BD=BE，

∴；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，

∵，，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∵,

∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=30°，

∴∠BDA=90°-∠BAD=60°，

∵,

∴=∠BDA=60°；

當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，

∵∠BAD=45°+15°=60°，

∴∠BDA=90°-∠BAD=30°，

∴=∠BDA=30°；

故答案為：或；

（3）當(dāng)點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，且當(dāng)DB=CB時(shí)，△CAD的外心P與頂點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)D向點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC的中點(diǎn)，

設(shè)AC的中點(diǎn)是點(diǎn)E，連接BE，則BE即為點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P走過(guò)的距離，

∵AB=AC，，

∴BE⊥AC，

∴∠AEB=90°，

∴=，

故答案為：.