【題目】如圖,在RtABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M、N在邊BC上.

(1)如圖1,如果AM=AN,求證:BM=CN;

(2)如圖2,如果M、N是邊BC上任意兩點(diǎn),并滿足∠MAN=45°,那么線段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立?如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由.

【答案】見解析

【解析】

試題(1)根據(jù)已知條件Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC”以及等腰直角三角形的性質(zhì)來判定△ABM≌△CANAAS);然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等求得BM=CN

2)過點(diǎn)CCE⊥BC,垂足為點(diǎn)C,截取CE,使CE=BM.連接AE、EN.通過證明△ABM≌△ACESAS)推知全等三角形的對應(yīng)邊AM=AE、對應(yīng)角∠BAM=∠CAE;然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°,所以△MAN≌△EANSAS),故全等三角形的對應(yīng)邊MN=EN;最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2MN2=BM2+NC2

1)證明:∵AB=AC,∴∠B=∠C

∵AM=AN∴∠AMN=∠ANM

即得∠AMB=∠ANC.(1分)

△ABM△CAN中,

∴△ABM≌△CANAAS).(2分)

∴BM=CN.(1分)

另證:過點(diǎn)AAD⊥BC,垂足為點(diǎn)D

∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD.(1分)

同理,證得MD=ND.(1分)

∴BD﹣MD=CD﹣ND

即得BM=CN.(2分)

2MN2=BM2+NC2成立.

證明:過點(diǎn)CCE⊥BC,垂足為點(diǎn)C,截取CE,使CE=BM.連接AE、EN

∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°

∵CE⊥BC∴∠ACE=∠B=45°.(1分)

△ABM△ACE中,

∴△ABM≌△ACESAS).

∴AM=AE∠BAM=∠CAE.(2分)

∵∠BAC=90°,∠MAN=45°,∴∠BAM+∠CAN=45°

于是,由∠BAM=∠CAE,得∠MAN=∠EAN=45°.(1分)

△MAN△EAN中,

∴△MAN≌△EANSAS).

∴MN=EN.(1分)

Rt△ENC中,由勾股定理,得EN2=EC2+NC2

即得MN2=BM2+NC2.(1分)

另證:由∠BAC=90°AB=AC,可知,把△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,ABAC重合,設(shè)點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E

于是,由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得AM=AE,∠BAM=∠CAE.(3分)

以下證明同上.

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C.12-3
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(1)求證:△ABM≌△DCM;
(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結(jié)論.

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(2)如圖③,點(diǎn)B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上,點(diǎn)E、F在∠MAN內(nèi)部的射線AD上,∠1、2分別是△ABE與△CAF的外角.已知AB=AC,1=2=BAC.求證:△ABE≌△CAF.

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