Question

已知二次函數y=x²+bx+c的圖象向左平移2個單位長度，向上平移3個單位長度，得到二次函數y=x²-8x+10．
（1）求b、c的值；
（2）若第（1）小題中的函數與x軸的交點為A、B，試在x軸的下方的圖象上確定一點P，使得△PAB的面積最大，你能求出△PAB的面積嗎？

Answer 1

考點：二次函數圖象與幾何變換,拋物線與x軸的交點

專題：計算題

分析：（1）先把y=x²-8x+10配方得到y(tǒng)=（x-4）²-6，根據題意反向平移，即把拋物線y=（x-4）²-6向右平移2個單位長度，向下平移3個單位長度，則平移后的拋物線的解析式為y=（x-6）²-9=x²-12x+27，于是可得到b=-12，c=27；
（2）令y=0，解方程x²-12x+27=0得到拋物線與x軸兩交點坐標，則AB=6，由于點P為拋物線的頂點時，△PAB的面積最大，則P點坐標為（6，-9），然后根據三角形面積公式求解．

解答：解：（1）y=x²-8x+10=（x-4）²-6，
把拋物線y=（x-4）²-6向右平移2個單位長度，向下平移3個單位長度得到拋物線的解析式為y=（x-6）²-9=x²-12x+27，
所以b=-12，c=27；
（2）解方程x²-12x+27=0得x₁=3，x₂=9，
所以AB=9-3=6，
點P為拋物線的頂點時，△PAB的面積最大，即P點坐標為（6，-9），
所以△PAB的面積=

1

2

×6×9=27．

點評：本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．