Question

如圖，AB、CD是半徑為1的⊙P兩條直徑，且∠CPB=120°，⊙M與PC、PB及弧CQB都相切，O、Q分別為PB、弧CQB上的切點(diǎn)．
（1）試求⊙M的半徑r；
（2）以AB為x軸，OM為y軸（分別以O(shè)B、OM為正方向）建立直角坐標(biāo)系，
①設(shè)直線y=kx+m過點(diǎn)M、Q，求k，m；?????????????????
②設(shè)函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)Q、O，求此函數(shù)解析式；
③當(dāng)y=x²+bx+c＜0時(shí)，求x的取值范圍；
④若直線y=kx+m與拋物線y=x²+bx+c的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求線段EQ的長度．

Answer 1

分析：（1）利用在Rt△POM中

r

PM

=sin60°=

3

2

與PQ=PM+MQ建立起⊙P半徑與⊙M半徑r間的關(guān)系，從而求得r的值．
（2）①首先根據(jù)半徑r與∠QPB=60°確定出M、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入y=kx+m，解方程求得k、m的值．
②首先根據(jù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)O，確定出c=0，再將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c，求得b的值，此函數(shù)解析式確定．
③將拋物線y=x²+bx+c首先轉(zhuǎn)化為一元二次方程x²+bx+c=0的值x₁、x₂（其中x₁≤x₂）的值，那么y=x²+bx+c＜0關(guān)于x的取值范圍即為x₁＜x＜x₂．
④通過上面①②知兩解析式分別是y=

3

x+2

3

-3、y=x2+

7

2

x首先求得E點(diǎn)坐標(biāo)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)通過圖不難確定，那么再求的兩點(diǎn)間的距離即可．

解答：解：（1）由

r

PM

=sin60°=

3

2

，PM+MQ=

2r

3

+r=1，
得r=2

3

-3．（2分）

（2）①點(diǎn)M（0，r），即M(0，2

3

-3)；
點(diǎn)Q(rcos60°，

3

2

)，即Q(

3

-

3

2

，

3

2

)．
由已知直線過點(diǎn)M、Q，得m=2

3

-3，k(

3

-

3

2

)+m=

3

2

，
解得k=

3

，m=2

3

-3． （5分）
②由y=x²+bx+c過點(diǎn)O、Q，則c=0，
(

2 3 -3

2

)2+b(

2 3 -3

2

)=

3

2

，得b=

7

2

，
即得y=x2+

7

2

x．（8分）
③令x2+

7

2

x=0，則x1=-

7

2

，x₂=0，
即得當(dāng)-

7

2

＜x＜0時(shí)，y＜0．
④由已知得y=

3

x+2

3

-3，y=x2+

7

2

x，
消去y，得x2+(

7

2

-

3

)x+3-2

3

=0． （12分）
設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x₂，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x1=

3

-

3

2

，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x₂=-2，
則|x1-x2|=|

3

-

3

2

+2|=

3

+

1

2

（14分）
進(jìn)而得線段EQ的長為2

3

+1． （15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．