Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是以AB為直徑的⊙M的內(nèi)接四邊形，點A，B在x軸上，△MBC是邊長為2的等邊三角形，過點M作直線l與x軸垂直，交⊙M于點E，垂足為點M，且點D平分$\widehat{AC}$．
（1）求過A，B，E三點的拋物線的解析式；
（2）求證：四邊形AMCD是菱形；
（3）請問在拋物線上是否存在一點P，使得△ABP的面積等于定值5？若存在，請求出所有的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意首先求出拋物線頂點E的坐標，再利用頂點式求出函數(shù)解析式；
（2）利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)得出∠AMD=∠CMD=$\frac{1}{2}$∠AMC=60°，進而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；
（3）首先表示出△ABP的面積進而求出n的值，再代入函數(shù)關(guān)系式求出P點坐標．

解答 （1）解：由題意可知，△MBC為等邊三角形，點A，B，C，E均在⊙M上，
則MA=MB=MC=ME=2，
又∵CO⊥MB，
∴MO=BO=1，
∴A（-3，0），B（1，0），E（-1，-2），
拋物線頂點E的坐標為（-1，-2），
設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x+1）²-2（a≠0）
把點B（1，0）代入y=a（x+1）²-2，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
故二次函數(shù)解析式為：y=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2；

（2）證明：連接DM，
∵△MBC為等邊三角形，
∴∠CMB=60°，
∴∠AMC=120°，
∵點D平分弧AC，
∴∠AMD=∠CMD=$\frac{1}{2}$∠AMC=60°，
∵MD=MC=MA，
∴△MCD，△MDA是等邊三角形，
∴DC=CM=MA=AD，
∴四邊形AMCD為菱形（四條邊都相等的四邊形是菱形）；

（3）解：存在．
理由如下：
設(shè)點P的坐標為（m，n）
∵S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB|n|，AB=4
∴$\frac{1}{2}$×4×|n|=5，
即2|n|=5，
解得：n=±$\frac{5}{2}$，
當$n=\frac{5}{2}$時，$\frac{1}{2}$（m+1）²-2=$\frac{5}{2}$，
解此方程得：m₁=2，m₂=-4
即點P的坐標為（2，$\frac{5}{2}$），（-4，$\frac{5}{2}$），
當n=-$\frac{5}{2}$時，$\frac{1}{2}$（m+1）²-2=-$\frac{5}{2}$，
此方程無解，
故所求點P坐標為（2，$\frac{5}{2}$），（-4，$\frac{5}{2}$）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及菱形的判定方法、三角形面積求法和等邊三角形的性質(zhì)等知識，正確得出E點坐標是解題關(guān)鍵．