Question

如圖，以等腰直角△ABC的直角邊AC作等邊△ACD，CE⊥AD于E，BD、CE交于點F．
（1）求∠DFE的度數(shù)；
（2）求證：AB=2DF．

Answer 1

考點：等腰直角三角形,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質可得∠ACD的大小，根據(jù)BC=CD即可求得∠CDB，即可求得∠ADB，即可解題；
（2）根據(jù)∠DFE=45°可得△DEF為等腰直角三角形，根據(jù)AD=2DE即可解題．

解答：解：（1）∵△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=60°+90°=150°，
∵BC=CD
∴∠BDC=

1

2

（180°-150°）=15°，
∴∠ADE=60°-15°=45°，
∴∠DFE=180°-∠DEF-∠EDF=45°，
（2）∵CE⊥AD，∠DFE=45°，
∴△DEF為等腰直角三角形，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACB∽△DEF，
∴

DE

AC

=

DF

AB

=

1

2

，
∴AB=2DE．

點評：本題考查了三角形內角和為180°的性質，考查了三角形相似的判定和相似三角形對應邊比例相等的性質，本題中求證△DEF是等腰直角三角形解題的關鍵．