【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的象經(jīng)過A(﹣1,0)、B(3,0)、N(2,3)三點,且與y軸交于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式,并寫出頂點M及點C的坐標(biāo);
(2)若直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點,且與x軸交于點D,試證明四邊形CDAN是平行四邊形;
(3)點P是這個二次函數(shù)的對稱軸上一動點,請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點P,使以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點,并且與直線CD相切?如果存在,請求出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:因為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(﹣1,0)、B(3,0)、N(2,3)

所以,可建立方程組: ,解得:

所以,所求二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3,

所以,頂點M(1,4),點C(0,3)


(2)

解:直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點,

所以 ,

即k=1,d=3,

直線解析式為y=x+3.

令y=0,得x=﹣3,

故D(﹣3,0)

∴CD= ,AN= ,AD=2,CN=2

∴CD=AN,AD=CN(2分)

∴四邊形CDAN是平行四邊形


(3)

解:假設(shè)存在這樣的點P,使以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點,并且與直線CD相切,

因為這個二次函數(shù)的對稱軸是直線x=1,

故可設(shè)P(1,y0),

則PA是圓的半徑且PA2=y02+22

過P做直線CD的垂線,垂足為Q,則PQ=PA時以P為圓心的圓與直線CD相切.

由第(2)小題易得:△MDE為等腰直角三角形,

故△PQM也是等腰直角三角形,

由P(1,y0)得PE=y0,PM=|4﹣y0|, ,

由PQ2=PA2得方程:

解得 ,符合題意,

所以,滿足題意的點P存在,其坐標(biāo)為(1, )或(1,


【解析】(1)根據(jù)題意將點A,B,N的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,組成方程組即可求得;(2)求得點C,M的坐標(biāo),可得直線CM的解析式,可求得點D的坐標(biāo),即可得到CD= ,AN= ,AD=2,CN=2,根據(jù)平行四邊形的判定定理可得四邊形CDAN是平行四邊形;(3)假設(shè)存在這樣的點P,使以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點,并且與直線CD相切,因為這個二次函數(shù)的對稱軸是直線x=1,故可設(shè)P(1,y0),則PA是圓的半徑且PA2=y02+22 ,
過P做直線CD的垂線,垂足為Q,則PQ=PA時以P為圓心的圓與直線CD相切.
由第(2)小題易得:△MDE為等腰直角三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,繼而求得滿足題意的點P存在,其坐標(biāo)為(1, )或(1, ).
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小.

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