Question

【題目】閱讀下面材料： 小騰遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的長(zhǎng)．
小騰發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，通過(guò)構(gòu)造△ACE，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算能夠使問(wèn)題得到解決（如圖 2）．
請(qǐng)回答：求∠ACE的度數(shù)，AC的長(zhǎng)．
參考小騰思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：
如圖 3，在四邊形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC與BD交于點(diǎn)E，AE=2，BE=2ED，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】解：∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°， ∠E=75°，BD=2DC，
∴AD=2DE，
AE=AD+DE=3，
∴AC=AE=3，
∠ACE=75°，AC的長(zhǎng)為3．
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．

∵∠BAC=90°=∠DFA，
∴AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE，
∴ =2，
∴EF=1，AB=2DF．
在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=75°，AC=AD．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，
∴DF=AFtan30°= ，AD=2DF=2 ．
∴AC=AD=2 ，AB=2DF=2 ．
∴BC= =2 ．
【解析】根據(jù)相似的三角形的判定與性質(zhì)，可得 =2，根據(jù)等腰三角形的判定，可得AE=AC，根據(jù)正切函數(shù)，可得DF的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得AB與DF的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．