Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點(diǎn)．若P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ∥BC，且交AC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形PQMN，記正方形PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y．

（1）如圖，當(dāng)AP＝3cm時(shí)，求y的值；

（2）設(shè)AP＝xcm，試用含x的代數(shù)式表示y（cm2）；

（3）當(dāng)y＝2cm2時(shí)，試確定點(diǎn)P的位置．

Answer 1

【答案】（1）重合部分的面積應(yīng)該是0.75cm2；（2）當(dāng)0＜x≤，y＝0；當(dāng)＜x≤4，y＝，當(dāng)4＜x≤，y＝x；當(dāng)＜x＜8，y＝16﹣2x；（3）當(dāng)x＝7cm或x＝cm時(shí)，y＝2cm2．

【解析】

（1）先根據(jù)AP的長(zhǎng)，求出PQ的值，然后看看正方形與矩形是否重合，若重合求出重合部分的線(xiàn)段的長(zhǎng)，然后根據(jù)矩形的面積計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．

（2）要分四種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)N在D點(diǎn)或D點(diǎn)左側(cè)時(shí)，當(dāng)正方形PQMN的邊MN與矩形EDBF的邊ED重合時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)可得出x＝，即0＜x≤時(shí)，此時(shí)正方形與矩形沒(méi)有重合，因此y＝0；

②當(dāng)N在D點(diǎn)右側(cè)，而P點(diǎn)在D點(diǎn)左側(cè)或與D點(diǎn)重合時(shí)，即＜x≤4，此時(shí)正方形與矩形重合的面積應(yīng)該是以DN為長(zhǎng)，NM為寬的矩形，DN＝PN﹣PD＝PN﹣（AD﹣AP）＝x﹣（4﹣x）＝x﹣4．而NM＝PQ＝x，因此重合部分的面積應(yīng)該是y＝（x﹣4）×x＝x2﹣2x；

③當(dāng)P在D點(diǎn)右側(cè)，而N點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)或與B點(diǎn)重合時(shí)，即4＜x≤時(shí)，此時(shí)正方形重合部分的面積應(yīng)該是以正方形邊長(zhǎng)為長(zhǎng)，DE為寬的矩形的面積，PN＝x，DE＝2，因此此時(shí)重合部分的面積是y＝x×2＝x；

④當(dāng)P在B左側(cè)時(shí)，而N點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，即＜x＜8時(shí)，此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是以DE長(zhǎng)為寬，PA長(zhǎng)為長(zhǎng)的矩形的面積．BP＝AB﹣AP＝8﹣x，BF＝DE＝2，因此此時(shí)重合部分的面積應(yīng)該是y＝（8﹣x）×2＝16﹣2x．

（3）將y＝2代入（2）的式子中，看看求出的x哪個(gè)符合條件即可．

（1）∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，

∴tanA＝＝，

∵D是AB中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，

∴AD＝BD＝4cm，DE＝2cm，

∴Rt△APQ中，AP＝3cm，

∴PQ＝APtanA＝3×＝1.5cm，

∴DN＝AN﹣AD＝AP+PN﹣AD＝3+1.5﹣4＝0.5，

∴重合部分的面積應(yīng)該是y＝DN×MN＝1.5×0.5＝0.75cm2；

（2）當(dāng)0＜x≤，y＝0；

當(dāng)＜x≤4，y＝，

當(dāng)4＜x≤，y＝x；

當(dāng)＜x＜8，y＝16﹣2x；

（3）當(dāng)＜x≤4時(shí)，如果y＝2，2＝，解得x＝或x＝（舍去）；

當(dāng)4＜x≤時(shí)，如果y＝2，x＝2，也不符合題意，

當(dāng)＜x＜8時(shí)，如果y＝2，2＝16﹣2x，解得x＝7，因此當(dāng)AP＝7cm時(shí)，y＝2cm2．

∴當(dāng)x＝7cm或x＝cm時(shí)，y＝2cm2．