Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形ABO的底邊OA在x軸上，頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，當(dāng)?shù)走匫A上的點(diǎn)A在x軸的正半軸上自左向右移動(dòng)時(shí)，頂點(diǎn)B也隨之在反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象上滑動(dòng)，但點(diǎn)O始終位于原點(diǎn)．

（1）如圖①，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形ABO變成等腰直角三角形，請(qǐng)說明理由；
（3）在（2）中，如圖②，△PA1A是等腰直角三角形，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，斜邊A1A在x軸上，求點(diǎn)A1的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，

∵OB=AB，

∴OC=AC，點(diǎn)A移動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形ABO變成等腰直角三角形，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），

∴OC= OA=3，

∵頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，

∴y= =4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（3，4）

（2）

解：點(diǎn)A移動(dòng)到（4 ，0）時(shí)，△ABO變成等腰直角三角形．

理由：如圖②，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴BC=OC= OA，

設(shè)點(diǎn)B（a，a），

∵頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，

∴a= ，

解得：a=±2 （負(fù)值舍去），

∴OC=2 ，

∴OA=2OC=4 ，

∴點(diǎn)A移動(dòng)到（4 ，0）時(shí)，△ABO變成等腰直角三角形

（3）

解：如圖②，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵△PA1A是等腰直角三角形，

∴PD=AD，

設(shè)AD=b，則點(diǎn)P（4 +b，b），

∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，

∴b= ，

解得：b1=2 ﹣2 ，b2=﹣2 ﹣2 （舍去），

∴AA1=2b=4 ﹣4 ，

∴OA1=OA+AA1=4 ，

∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為：（4 ，0）．

【解析】（1）首先過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，由等腰三角形的三線合一，可得OC=AC=3，然后由頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）首先由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得OC=BC，然后由頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，繼而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）首先過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，易得AD=PD，則可設(shè)AD=b，則點(diǎn)P（4 +b，b），又由點(diǎn)P在反比例函數(shù)y= （x＞0）的圖象上，求得b的值，繼而求得答案．