【題目】(背景)某班在一次數(shù)學(xué)實踐活動中,對矩形紙片進(jìn)行折疊實踐操作,并將其產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行相關(guān)探究. (操作)如圖,在矩形ABCD中,AD=6,AB=4,點P是BC邊上一點,現(xiàn)將△APB沿AP對折,得△APM,顯然點M位置隨P點位置變化而發(fā)生改變
(問題)試求下列幾種情況下:點M到直線CD的距離
(1)∠APB=75°;
(2)P與C重合;
(3)P是BC的中點.
【答案】
(1)解:當(dāng)∠APB=75°時,如圖1,過M作EF⊥AD,則EF⊥BC,
∵∠AMP=∠B=∠MFP=90°,
∴∠AME=∠MPF,
∴△AEM∽△MFP,
∵∠APB=75°,
∴∠MPF=30°,
∵AM=AB=4,
∴AE=2,
∴DE=4
(2)解:當(dāng)P與C重合,如圖2,過M作GH∥AD交BA,CD的延長線于G,H,
則四邊形ADHG是矩形,
∵∠AMP=∠ABC=∠AMC=90°,
∴∠AMG=∠MPH,
∴△AMG∽△MHP,
設(shè)AG=x,則DH=x,
∴PH=4+x,
∴ ,
∴MH= x,
在Rt△MHP中,MH2+PH2=MC2,
即( x)2+(4x)2=62,
∴x= (負(fù)值舍去),
∴MH=
(3)解:當(dāng)P是BC的中點時,如圖3,過M作EF∥AB交AB,BC于E,F(xiàn),
∵P是BC的中點,
∴BP=3,
設(shè)PF=x,則BF=3+x,
∴AE=3+x,
由折疊的性質(zhì)得,AM=AB=4,PM=PB=3,∠AMP=∠B=90°,
∴△AEM∽△MFP,
∴ ,
∴EM= x,
在Rt△AEM中,
AE2+EM2=AM2,
即( x)2+(3+x)2=42,
∴x= (負(fù)值舍去),
∴DE= .
【解析】(1)如圖1,過M作EF⊥AD,則EF⊥BC,由∠AMP=∠B=∠MFP=90°,得到∠AME=∠MPF,推出△AEM∽△MFP,根據(jù)已知條件得到∠MPF=30°,AE=2,即可得到結(jié)論;(2)如圖2,過M作GH∥AD交BA,CD的延長線于G,H,則四邊形ADHG是矩形,推出△AMG∽△MHP,設(shè)AG=x,則DH=x,得到PH=4+x,列比例式得到MH= x,根據(jù)勾股定理得到x= (負(fù)值舍去),即可得到結(jié)論;(3)當(dāng)P是BC的中點時,如圖3,過M作EF∥AB交AB,BC于E,F(xiàn),推出△AEM∽△MFP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ,得到EM= x,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用翻折變換(折疊問題)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,對稱軸是對應(yīng)點的連線的垂直平分線,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和角相等.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市計劃在“十周年”慶典當(dāng)天開展購物抽獎活動,凡當(dāng)天在該超市購物的顧客,均有一次抽獎的機(jī)會,抽獎規(guī)則如下:將如圖所示的圓形轉(zhuǎn)盤平均分成四個扇形,分別標(biāo)上1,2,3,4四個數(shù)字,抽獎?wù)哌B續(xù)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次,當(dāng)每次轉(zhuǎn)盤停止后指針?biāo)干刃蝺?nèi)的數(shù)為每次所得的數(shù)(若指針指在分界線時重轉(zhuǎn));當(dāng)兩次所得數(shù)字之和為8時,返現(xiàn)金20元;當(dāng)兩次所得數(shù)字之和為7時,返現(xiàn)金15元;當(dāng)兩次所得數(shù)字之和為6時返現(xiàn)金10元.
(1)試用樹狀圖或列表的方法表示出一次抽獎所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)某顧客參加一次抽獎,能獲得返還現(xiàn)金的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰三角形ABO的底邊OA在x軸上,頂點B在反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上,當(dāng)?shù)走匫A上的點A在x軸的正半軸上自左向右移動時,頂點B也隨之在反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上滑動,但點O始終位于原點.
(1)如圖①,若點A的坐標(biāo)為(6,0),求點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點A移動到什么位置時,三角形ABO變成等腰直角三角形,請說明理由;
(3)在(2)中,如圖②,△PA1A是等腰直角三角形,點P在反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上,斜邊A1A在x軸上,求點A1的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為a的正方形,點G,E分別是邊AB,BC的中點,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點F.
(1)證明:∠BAE=∠FEC;
(2)證明:△AGE≌△ECF;
(3)求△AEF的面積.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰三角形ABO的底邊OA在x軸上,頂點B在反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上,當(dāng)?shù)走匫A上的點A在x軸的正半軸上自左向右移動時,頂點B也隨之在反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上滑動,但點O始終位于原點.
(1)如圖①,若點A的坐標(biāo)為(6,0),求點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點A移動到什么位置時,三角形ABO變成等腰直角三角形,請說明理由;
(3)在(2)中,如圖②,△PA1A是等腰直角三角形,點P在反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象上,斜邊A1A在x軸上,求點A1的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公園準(zhǔn)備修建一塊長方形草坪,長為30米,寬為20米.并在草坪上修建如圖所示的十字路,已知十字路寬米,回答下列問題:
(1)修建十字路的面積是多少平方米?
(2)草坪(陰影部分)的面積是多少?
(3)如果十字路寬2米,那么草坪(陰影部分)的面積是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平行四邊形的一個內(nèi)角平分線把平行四邊形一條邊分成2 cm和3 cm兩部分,則平行四邊形的周長為( ).
A. 10 cm B. 14 cm C. 16 cm D. 14 cm和16 cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將兩塊三角板的頂點重合.
(1)請寫出圖中所有以點為頂點且小于平角的角;
(2)你寫出的角中相等的角有________;
(3)若,試求的度數(shù);
(4)當(dāng)三角板繞點適當(dāng)旋轉(zhuǎn)(保持兩三角板有重合部分)時,與之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?
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