Question

【題目】邊長為2的正方形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)在第一象限，且，.以直線為對(duì)稱軸的拋物線過，兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？

（3）點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似；（3）存在，四邊形是平行四邊形時(shí)，，；四邊形是平行四邊形時(shí)，，；四邊形是平行四邊形時(shí)，，

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得OA＝OC，∠AOC＝∠DGE，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠OCD＝∠GDE，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得EG＝OD＝1，DG＝OC＝2，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）分類討論：若△DFP∽△COD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得∠PDF＝∠DCO，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，可得∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)，可得PC的長；若△PFD∽△COD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得∠DPF＝∠DCO，，根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，可得DF于CD的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的相似比，可得PC的長；

（3）分類討論：當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，四邊形是平行四邊形時(shí)，四邊形是平行四邊形時(shí)，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形式平行四邊，可得答案．

解：（1）過點(diǎn)作軸于點(diǎn).

∵四邊形是邊長為2的正方形，是的中點(diǎn)，

∴，，.

∵，∴.

∵，∴.

在和中，

∴，，.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線即直線，∴可設(shè)拋物線的解析式為，

將、點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得，解得.

∴拋物線的解析式為；

（2）①若，則，，

∴，∴四邊形是矩形，

∴，∴；

②若，則，

∴.

∴.

∴，∴.

∵，∴，∴.

∵，

∴，，

綜上所述：或時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似：

（3）存在，①若以DE為平行四邊形的對(duì)角線，如圖2，

此時(shí)，N點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)（2，），

由N、E兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線NE的解析式為：y＝x；

∵DM∥EN，

∴設(shè)DM的解析式為：y＝x＋b，

將D（1，0）代入可求得b＝，

∴DM的解析式為：y＝x，

令x＝2，則y＝，

∴M（2，）；

②過點(diǎn)C作CM∥DE交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接ME，如圖3，

∵CM∥DE，DE⊥CD，

∴CM⊥CD，

∵OC⊥CB，

∴∠OCD＝∠BCM，

在△OCD和△BCM中

，

∴△OCD≌△BCM（ASA），

∴CM＝CD＝DE，BM＝OD＝1，

∴CDEM是平行四邊形，

即N點(diǎn)與C占重合，

∴N（0，2），M（2，3）；

③N點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，MN∥DE，如圖4，

作NG⊥BA于點(diǎn)G，延長DM交BN于點(diǎn)H，

∵MNED是平行四邊形，

∴∠MDE＝MNE，∠ENH＝∠DHB，

∵BN∥DF，

∴∠ADH＝∠DHB＝∠ENH，

∴∠MNB＝∠EDF，

在△BMN和△FED中

∴△BMN≌△FED（AAS），

∴BM＝EF＝1，

BN＝DF＝2，

∴M（2，1），N（4，2）；

綜上所述，

四邊形是平行四邊形時(shí)，，；

四邊形是平行四邊形時(shí)，，；

四邊形是平行四邊形時(shí)，，.