【題目】Rt△ABC與Rt△DEF的位置如圖所示,其中AC=2,BC=6,DE=3,∠D=30°,其中,Rt△DEF沿射線CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng),射線DE、DF與射線AB分別交于N、M兩點(diǎn),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)當(dāng)Rt△DEF在起始時(shí),求∠AMF的度數(shù);
(2)設(shè)BC的中點(diǎn)的為P,當(dāng)△PBM為等腰三角形時(shí),求t的值;
(3)若兩個(gè)三角形重疊部分的面積為S,寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量的取值范圍.
【答案】(1) ∠AMF =150°;(2) t的值為0,3﹣,2,3+;(3) S=.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意可以求得∠B的度數(shù),∠DFC的度數(shù),從而可以求得∠AME的度數(shù);
(2)根據(jù)題意可以分兩種情況,一種是DM與線段AB相交,一種是DF與AB的延長(zhǎng)線相交,分別針對(duì)兩種情況再討論,畫(huà)出相應(yīng)的圖形,求出相應(yīng)的t的值;
(3)根據(jù)題意可以分兩種情況,一種是DM與線段AB相交,一種是DF與AB的延長(zhǎng)線相交,然后根據(jù)題意可以分別求出兩種情況下S與t的函數(shù)關(guān)系式.
試題解析:(1)在Rt△ABC中,tan∠B=
∴∠B=30°,
在Rt△DEF中,∠D=30°,
∴∠DFC=60°,
∴∠FMB=∠DFC﹣∠B=30°,
∴∠AMF=180°﹣∠FMB=150°;
(2)∵BC=6,點(diǎn)P為線段BC的中點(diǎn),
∴BP=3,
(ⅰ)若點(diǎn)M在線段AB上,
①當(dāng)PB=PM時(shí),PB=PM=3,
∵DE=3,∠D=30°,
∴EF=DEtan30°=3,
∴此時(shí)t=0;
②如圖(1)所示
當(dāng)BP=BM時(shí),BP=BM=3,
∵∠B=30°,∠DFE=60°,
∴∠FMB=30°,
∴△BMF為等腰三角形.
過(guò)點(diǎn)F作FH⊥MB于H,則BH=BM=,
在Rt△BHF中,∠B=30°,
∴BF=,
∴t=3﹣;
③如圖(2)所示,
當(dāng)MP=MB時(shí),∠MPB=∠B=30
∵∠MFP=60°,
∴PM⊥MF,∠BMF=30°
∴FB=FM,
設(shè)FB=x,則FM=x,PF=2x.
∴3x=3,x=1
∴t=2;
(ⅱ)若點(diǎn)M在射線AB上,如圖(3)所示,
∵∠PBM=150°
∴當(dāng)△PBM為等腰三角形時(shí),有BP=BM=3
∵△BFM為等腰三角形,
∴過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BM于H,則BH=BM=,
在Rt△BHF中,∠FBH=30°
∴BF=,
∴t=3+,
綜上所述,t的值為0,3﹣,2,3+.
(3)當(dāng)0<t≤3時(shí),BE=6﹣t,NE=(6﹣t),
∴SΔBEN=×(6-t) ×(6﹣t)=(6﹣t)2
過(guò)點(diǎn)F作FH⊥MB于H,如圖(1)所示,
∵FB=3﹣t
∴HF=(3﹣t),HB=(3﹣t),MB=(3﹣t),
∴SΔBMF=×(3﹣t)×(3﹣t)=(3﹣t)2,
∴S=S△BEN﹣S△BMF=(6﹣t)2-(3﹣t)2=
當(dāng)3<t≤6時(shí),BE=6﹣t,NE=(6﹣t),如圖(4)所示,
∴S=SΔBEN=
由上可得,當(dāng)0<t≤3時(shí),S=,
當(dāng)3<t≤6時(shí),S=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果線段AB=5cm,BC=4cm,且A,B,C,D,在同一條直線上,那么A,C兩點(diǎn)的距離是( )
A.1cm
B.9cm
C.1cm或9cm
D.以上答案都不正確
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【題目】如圖,以正方形ABCD的一邊向形外作等邊△ABE,BD與EC交于點(diǎn)F,則∠AFD等于( )
A.60°
B.50°
C.45°
D.40°
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合),DE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)G,DF⊥DG,且交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:AE=BF;
(2)連接GB,EF,求證:GB∥EF;
(3)若AE=1,EB=2,求DG的長(zhǎng).
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【題目】如圖,C為半圓內(nèi)一點(diǎn),O為圓心,直徑AB長(zhǎng)為4cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,將△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′,點(diǎn)C′在OA上,則邊BC掃過(guò)區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為______cm2.
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,△AOD是正三角形,AD=4,則平行四邊形ABCD的面積為 .
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【題目】化簡(jiǎn)求值:已知:(x﹣3)2 =0,求3x2y﹣[2xy2﹣2(xy﹣ )+3xy]+5xy2的值.
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【題目】如果兩個(gè)數(shù)m、n互為相反數(shù),那么下列結(jié)論不正確的是( )
A.m+n=0
B.
C.|m|=|n|
D.數(shù)軸上,表示這兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等
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【題目】如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,△ABC的面積是28cm2 , AB=16cm,AC=12cm,求DE的長(zhǎng).
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