Question

8．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在線段BC上，∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C，BE⊥DE于E，DE與AB交于點F，試探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 BE與DH的延長線交于G點，由DH∥AC得到∠BDH=45°，則△HBD為等腰直角三角形，于是HB=HD，由∠EBF=22.5°得到DE平分∠BDG，
根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得BE=GE，即BE=$\frac{1}{2}$BG，然后根據(jù)“AAS”證明△BGH≌△DFH，則BG=DF，所以BE=$\frac{1}{2}$FD．

解答 解：BE=$\frac{1}{2}$FD．理由：
BE與DH的延長線交于G點，如圖，
∵DH∥AC，
∴∠BDH=∠C=45°，
∴△HBD為等腰直角三角形
∴HB=HD，
而∠EBF=22.5°，
∵∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C=22.5°，
∴DE平分∠BDG，
而DE⊥BG，
∴BE=GE，即BE=$\frac{1}{2}$BG，
∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°，
∴∠DFH=∠G，
∵∠GBH=90°-∠G，∠FDH=90°-∠G，
∴∠GBH=∠FDH
在△BGH和△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠DFH}\\{∠GBH=∠FDH}\\{BH=DH}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△DFH（AAS），
∴BG=DF，
∴BE=$\frac{1}{2}$FD．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．