Question

如圖，梯形ABCD中，CD∥AB，△ABD為等腰直角三角形，AC=AB，AC與BD相交于E點(diǎn)，CF⊥AB于點(diǎn)F，交BD于G點(diǎn)，下列結(jié)論：（1）BE=BC；（2）BC=

2

CD；（3）CE=2BF；正確的有哪幾個(gè)？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),梯形

專題：

分析：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，得到四邊形CDHF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得CF=DH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DH=

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AB，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出∠BAC=30°，再求出∠BCE=∠BEC=75°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE=BC，判斷出（1）正確；過(guò)點(diǎn)C作CK⊥BD于K，判斷出△CDK為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CK=

2

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CD，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BC=CK，然后整理判斷出（2）正確；過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CE于M，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=2CM，再求出∠CBM=∠BCF=15°，利用“角角邊”證明△BCM和△CBF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=CM，然后判斷出（3）正確．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，∵CD∥AB，CF⊥AB，
∴四邊形CDHF是矩形，
∴CF=DH，
∵△ABD為等腰直角三角形，
∴DH=

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2

AB，
∵AB=AC，
∴CF=

1

2

AC，
∴∠BAC=30°，
∴∠BCE=

1

2

（180°-30°）=75°，
∵∠BEC=∠BAC+∠ABD=30°+45°=75°，
∴∠BCE=∠BEC=75°，
∴BE=BC，故（1）正確；
過(guò)點(diǎn)C作CK⊥BD于K，
∵CD∥AB，
∴∠CDK=∠ABD=45°，
∴△CDK為等腰直角三角形，
∴CK=

2

2

CD，
∵∠CBD=∠ABC-∠ABD=75°-45°=30°，
∴BC=2CK，
∴BC=2×

2

2

CD=

2

CD，故（2）正確；
過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CE于M，
∵BC=BE，∠CBD=30°，
∴CE=2CM，∠CBM=15°，
∵∠BCF=90°-∠ABC=90°-75°=15°，
∴∠CBM=∠BCF=15°，
在△BCM和△CBF中，

∠CBM=∠BCF ∠BFC=∠CMB=90° BC=CB

，
∴△BCM≌△CBF（AAS），
∴BF=CM，
∴CE=2BF，故（3）正確．
綜上所述，正確的是（1）（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角梯形，難點(diǎn)在于作輔助線，構(gòu)造出矩形，等腰三角形和全等三角形．