Question

如圖甲，二次函數(shù)y=ax²+bx+5圖象的頂點(diǎn)為Q，與x軸交于A（-1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）如圖乙，若點(diǎn)D是第一象限該函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥x軸，垂足為E．
①有一個(gè)同學(xué)說(shuō)：“在第一象限函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)中，該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)Q與x軸相距最遠(yuǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)Q時(shí)，折線D-E-O的長(zhǎng)度最長(zhǎng)”，這個(gè)同學(xué)的說(shuō)法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
②試探究：四邊形DCEB能否為平行四邊形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）將A（-1，0）、B（5，0）分別代入y=ax²+bx+5中即可確定a、b的值，然后配方后即可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①設(shè)D（t，-t²+4t+5），設(shè)折線D-E-O的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，求得L的最大值后與當(dāng)點(diǎn)D與Q重合時(shí)L=9+2=11＜

45

4

相比較即可得到答案；
②假設(shè)四邊形DCEB為平行四邊形，則可得到EF=DF，CF=BF．然后根據(jù)DE∥y軸求得DF，得到DF＞EF，這與EF=DF相矛盾，從而否定是平行四邊形．

解答：解：（1）將A（-1，0）、B（5，0）分別代入y=ax²+bx+5中，
得

a-b+5=0 25a+5b+5=0

，解得

a=-1 b=4

，
∴二次函數(shù)為y=-x²+4x+5．
∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴Q（2，9）．

（2）①這個(gè)同學(xué)的說(shuō)法不正確．
∵設(shè)D（t，-t²+4t+5），設(shè)折線D-E-O的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則L=-t²+4t+5+t=-t²+5t+5=-（t-

5

2

）²+

45

4

，
∵a＜0，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，L最大值=

45

4

．
而當(dāng)點(diǎn)D與Q重合時(shí)，L=9+2=11＜

45

4

，
∴該該同學(xué)的說(shuō)法不正確．
②四邊形DCEB不能為平行四邊形．
如圖，若四邊形DCEB為平行四邊形，則EF=DF，CF=BF．
∵DE∥y軸，
∴

OE

EB

=

CF

BF

=1，即OE=BE=2.5．
當(dāng)x_F=2.5時(shí)，y_F=-2.5+5=2.5，即EF=2.5；
當(dāng)x_D=2.5時(shí)，yD=-（2.5-2）2+9=8.75，即DE=8.75．
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25＞2.5．即DF＞EF，這與EF=DF相矛盾，
∴四邊形DCEB不能為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)的確定方法及有關(guān)的幾何知識(shí)．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．