Question

1．已知，拋物線y=-x²-x+c與y軸交于點C（0，6）．
（1）求c；
（2）求該拋物線的頂點坐標(biāo)，并畫出該拋物線的大致圖象；
（3）試探索：在該拋物線上是否存在點P，使得以點P為圓心，以適當(dāng)長為半徑的⊙P與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切？如果存在，請求出點P的坐標(biāo)和⊙P的半徑；如果不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點C（0，6）代入拋物線y=-x²-x+c，得到關(guān)于c的方程，解方程可求c；
（2）根據(jù)頂點坐標(biāo)公式求頂點坐標(biāo)，或把解析式配成頂點式確定頂點坐標(biāo)，再畫出該拋物線的大致圖象；
（3）設(shè)拋物線上存在點P（m，-m²-m+6），根據(jù)切線的性質(zhì)可得m=-m²-m+6且m＞0，解方程即可求解．

解答 解：（1）將C（0，6）代入y=-x²-x+c，得c=6；
（2）把c=6代入，得y=-x²-x+6=-（x²+x）+6=-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
故該拋物線的頂點（$-\frac{1}{2}$，$\frac{25}{4}$），
大致圖象如圖1，

（3）設(shè)拋物線上存在點P（m，-m²-m+6），
如圖2，

要使⊙P與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切必需：m=-m²-m+6且m＞0，
解得m₁=-1+$\sqrt{7}$，m₂=-1-$\sqrt{7}$（舍去），
即拋物線上存在點P（$-1+\sqrt{7}$，$-1+\sqrt{7}$），使得以點P為圓心，以$-1+\sqrt{7}$為半徑的圓與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切．

點評 此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線的頂點坐標(biāo)的求法，切線的性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強，有一定的難度．