Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=mx+1與雙曲y=$\frac{k}{x}$（k＞0）相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D（1，-2），連結(jié)OA、OD、DC、AC，四邊形AODC為菱形．
（1）求k和m的值；
（2）根據(jù)圖象寫出反比例函數(shù)的值小于2時(shí)x的取值范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)P是y軸上一動點(diǎn)，且S_△OAP=S_菱形OACD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)可知A、D關(guān)于x軸對稱，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，把A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入兩函數(shù)函數(shù)解析式可求得k和m值；
（2）由（1）可知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），結(jié)合圖象可知在A點(diǎn)的下方時(shí)，反比例函數(shù)的值小于2，可求得x的取值范圍；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，可求得菱形面積，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），根據(jù)條件可得到關(guān)于y的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）如圖，連接AD，交x軸于點(diǎn)E，
∵D（1，2），
∴OE=1，ED=2，
∵四邊形AODC是菱形，
∴AE=DE=2，EC=OE=1，
∴A（1，2），
將A（1，2）代入直線y=mx+1可得m+1=2，解得m=1，
將A（1，2）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，可求得k=2；
（2）∵當(dāng)x=1時(shí)，反比例函數(shù)的值為2，
∴當(dāng)反比例函數(shù)圖象在A點(diǎn)下方時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值小于2，
此時(shí)x的取值范圍為：x＜0或x＞1；
（3）∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，
∴S_菱形OACD=$\frac{1}{2}$OC•AD=4，
S_△OAP=S_菱形OACD，
∴S_△OAP=4，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），則OP=|y|，
∴$\frac{1}{2}$×|y|×1=4，即|y|=8，
解得y=8或y=-8，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8）或（0，-8）．

點(diǎn)評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有待定系數(shù)法、菱形的性質(zhì)、三角形的面積及數(shù)形結(jié)合思想等．在（1）中求得A點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，在（3）中注意P點(diǎn)有兩種情況．本題考查知識點(diǎn)較為基礎(chǔ)，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．