Question

如圖所示，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，延長CA到E，使AD=CE=BC．若恰好有DE=BC，求∠BAC的大小．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：過點D作DF平行于BC，且DF=BC，連接FC，EF，由一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到BCFD為平行四邊形，可得出對邊BD=CF，且AD平行于FC，對角∠ADF=∠FCB，由BC與DF平行，得到同位角∠ABC=∠ADF，等量代換可得出∠ABC=∠FCB，同時由AD與CF平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得出∠EAD=∠ECF，又AD=CE，AB=AC，兩等式左右兩邊相減可得出AE=BD，等量代換得出AE=CF，再由AD=CF，利用SAS得出三角形ADE與三角形CEF全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得出DE=EF，又DE=BC，而BC=DF，等量代換可得出DE=DF=EF，即三角形DEF為等邊三角形，可得出內(nèi)角為60°，設∠BAC=α，由AB=AC，利用內(nèi)角和定理表示出底角∠ABC的度數(shù)，即為∠ADF的度數(shù)，再由AD=BC=DF=DE，根據(jù)等邊對等角得到∠DAE=∠DEA，由鄰補角定義表示出∠DAE，即表示出∠DEA，在三角形AED中，利用內(nèi)角和定理表示出∠ADE，由∠ADE+∠ADF=60°列出關于α的方程，求出方程的解得到α的值，即為∠BAC的度數(shù)．

解答：
解：過點D作DF∥BC且BC=DF，連接CF，EF，
則四邊形BCFD為平行四邊形，
∴BD=CF，AD∥CF，∠ADF=∠FCB，
∴∠ABC=∠ADF=∠FCB，∠EAD=∠ECF，
又AD=CE，AB=AC，
∴AD-AB=CE-AC，即AE=BD，
∴AE=CF，
在△ADE和△CEF中，

AE=CF ∠EAD=∠ AD=CE

FCE，
∴△ADE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，又DE=BC，且BC=DF，
∴DE=DF=EF，
∴△DEF為等邊三角形，
∴∠EDF=60°，
又AD=BC=DF=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
設∠BAC=α，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ADF=∠ABC=

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（180°-α），∠DAE=180°-α，
∴∠ADE=180°-∠DAE-∠DEA=180°-2∠DAE=180°-2（180°-α）=2α-180°，
又∠ADE+∠ADF=60°，即

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2

（180°-α）+2α-180°=60°，
解得：α=100°，
則∠BAC=100°

點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，利用了轉化及等量代換的思想，是一道綜合性較強的題．其中作出相應的輔助線構造平行四邊形及全等三角形是解本題的關鍵．