Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)E、F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC，下列結(jié)論：
①線(xiàn)段AC為⊙O的直徑；②CD⊥DF；③BC=2CD；④∠AFB=∠BCD
其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等，作出輔助線(xiàn)，根據(jù)有關(guān)性質(zhì)和定理對(duì)每一結(jié)論進(jìn)行證明即可得出答案．

解答：解：①∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，∠ADB=∠ABD．
∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD．
∴∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=90°-∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC=90°，即∠ACD+∠DFC=90°，
∴CD⊥DF，
∴∠FDC=90°，
∴∠ADC＞90°，
∴線(xiàn)段AC不為⊙O的直徑，
∴①錯(cuò)誤，②正確；
③過(guò)F作FG⊥BC，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ACB=∠ADB，
∠BFC=∠BAD，
∴∠FBC=∠ABD，
∴∠FBC=∠ADB，
∴∠FBC=∠ACB．
∴FB=FC．
∴FG平分BC，G為BC中點(diǎn)，∠GFC=

1

2

∠BAD=∠DFC．
∴△FGC≌△DFC（∠GFC=∠DFC，F(xiàn)C=FC，∠ACB=∠ACD）．
∴CD=GC=

1

2

BC．
∴BC=2CD，
∴③正確；
④∵∠BFC=∠BAD，
∠AFB=180°-∠BFC，
∠BCD=180°-∠BAD，
∴∠AFB=∠BCD
∴④正確；
其中正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理；用到的知識(shí)點(diǎn)為圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)根據(jù)有關(guān)性質(zhì)和定理對(duì)每一結(jié)論進(jìn)行證明．