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【題目】問題提出

1)如圖①,在等腰RtABC中,斜邊AC4,點DAC上一點,連接BD,則BD的最小值為   

問題探究

2)如圖②,在ABC中,ABAC5,BC6,點MBC上一點,且BM4,點P是邊AB上一動點,連接PM,將BPM沿PM翻折得到DPM,點D與點B對應,連接AD,求AD的最小值;

問題解決

3)如圖③,四邊形ABCD是規(guī)劃中的休閑廣場示意圖,其中∠BAD=∠ADC135°,∠DCB30°,AD2km,AB3km,點MBC上一點,MC4km.現計劃在四邊形ABCD內選取一點P,把DCP建成商業(yè)活動區(qū),其余部分建成景觀綠化區(qū).為方便進入商業(yè)區(qū),需修建小路BP、MP,從實用和美觀的角度,要求滿足∠PMB=∠ABP,且景觀綠化區(qū)面積足夠大,即DCP區(qū)域面積盡可能。畡t在四邊形ABCD內是否存在這樣的點P?若存在,請求出DCP面積的最小值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)2;(2);(3) 存在點P,使得△DCP的面積最小,△DCP面積的最小值是(20km2

【解析】

1)如圖1,當BDAC時,BD的值最小,根據直角三角形斜邊中線的性質可得結論;

2)如圖2,根據BMDM可知:點D在以M為圓心,BM為半徑的⊙M上,連接AM交⊙M于點D',此時AD值最小,計算AM和半徑D'M的長,可得AD的最小值;

3)如圖3,先確定點P的位置,再求DCP的面積;假設在四邊形ABCD中存在點P,以BM為邊向下作等邊BMF,可知:A、FM、P四點共圓,作BMF的外接圓⊙O,圓外一點與圓心的連線的交點就是點P的位置,并構建直角三角形,計算CDPQ的長,由三角形的面積公式可求得面積.

解:(1)當BDAC時,如圖1,

ABBC,

DAC的中點,

BDAC×42,即BD的最小值是2;

故答案為2;

2)如圖2,由題意得:DMMB

∴點D在以M為圓心,BM為半徑的⊙M上,連接AM交⊙M于點D',此時AD值最小,

AAEBCE

ABAC5,

BEECBC

由勾股定理得:AE4,

BM4

EM431,

AM ,

D'MBM4,

AD'AMD'M 4,

即線段AD長的最小值是4

3)如圖3,假設在四邊形ABCD中存在點P,

∵∠BAD=∠ADC135°,∠DCB30°

∴∠ABC360°﹣∠BAD﹣∠ADC﹣∠DCB60°,

∵∠PMB=∠ABP

∴∠BPM180°﹣∠PBM﹣∠PMB180°﹣(∠PBM+ABP)=180°﹣∠ABC120°

BM為邊向下作等邊BMF,作BMF的外接圓⊙O

∵∠BFM+BPM60°+120°180°,則點P 上,

OOQCDQ,交⊙O于點P,

設點P'上任意一點,連接OP',過P'P'HCDH,

可得OP'+P'HOQOP+PQ,即P'HPQ,

P即為所求的位置,

延長CD,BA交于點E

∵∠BAD=∠ADC135°,∠DCB30°,∠ABC60°

∴∠E90°,∠EAD=∠EDA45°

AD2 ,

AEDE2

BEAE+AB5,BC2BE10,CE5,

BMBCMC6CD52,

OOGBMG,

∵∠BOM2BFM120°,OBOM,

∴∠OBM30°,

∴∠ABO=∠ABM+MBO90°,OB 2,

∴∠E=∠ABO=∠OQE90°,

∴四邊形OBEQ是矩形,

OQBE5,

PQOQOP52

SDPC 20,

∴存在點P,使得DCP的面積最小,DCP面積的最小值是(20km2

練習冊系列答案
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2)這次隨機調查中,如果公民年齡的中位數是正整數,那么這個中位數所在年齡段是_________(填寫年齡段);

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