Question

20．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E、F分別為AC、BC上一點，且DE⊥DF，若∠A=30°，求$\frac{DF}{DE}$的值．

Answer 1

分析 由Rt△ABC中，CD⊥AB，得出∠FCD=∠A，利用互余關系得出∠CDF=∠ADE，證明△ADE∽△CDF，利用相似比證明結論．

解答 證明：∵∠ACB=90°CD⊥AB，
∴∠FCD+∠ACD=∠A+∠ACD=90°，
∴∠FCD=∠A，
同理可證∠CDF=∠ADE，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{DC}{AD}$，
∵∠A=30°，
∴tan∠A=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質．關鍵是利用互余關系證明角相等，再證明三角形相似．