Question

【題目】如圖，中， ，以為直徑的交邊于點(diǎn)，連接，過(guò)作的垂線(xiàn)，交邊于點(diǎn)，交邊的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線(xiàn)；

（2）若，，求劣弧的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2π．

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理求出AD⊥BC，得出AD平分∠BAC，即可推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根據(jù)切線(xiàn)的判定推出即可．
（2）由OD⊥DF得∠ODF=90°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系OF=2OD，即OB+3=2OD，可解得OD=3，再計(jì)算出∠AOD=90°+∠F=120°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解．

證明：（1）連接OD，

∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵OD過(guò)O，
∴EF是⊙O的切線(xiàn)．
（2）∵OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∵∠F=30°，
∴OF=2OD，即OB+3=2OD，
而OB=OD，
∴OD=3，
∵∠AOD=90°+∠F=90°+30°=120°，
∴劣弧的長(zhǎng)度=＝2π．