Question

如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長BP交邊AD于點F，交CD的延長線于點G.

(1)求證：△APB≌△APD；

(2)已知DF∶FA＝1∶2，設線段DP的長為x，線段PF的長為y.

①求y與x的函數(shù)關系式；

②當x＝6時，求線段FG的長.

 

 

Answer 1

(1)證明見解析；（1）；5.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；

（2）①首先證明△DFP≌△BEP，進而得出，，進而得出，即，即可得出答案；

②根據(jù)①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，進而得出，求出即可．

試題解析：（1）證明：∵點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，

∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，

∵在△APB和△APD中

，

∴△APB≌△APD（SAS）；

（2）【解析】
①∵△APB≌△APD，

∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，

∵在△DFP和△BEP中，

，

∴△DFP≌△BEP（ASA），

∴PF=PE，DF=BE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴GD∥AB，

∴，

∵DF：FA=1：2，

∴，，

∴，

∴，即，

∴；

②當x=6時，，

∴PF=PE=4，DP=PB=6，

∵，

∴，

解得：FG=5，

故線段FG的長為5．

考點：1.相似三角形的判定與性質；2.全等三角形的判定與性質；3.菱形的性質．