Question

【題目】（問題情境）

(1)古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》提出了射影定理，又稱“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．射影定理是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理．

其符號(hào)語言是：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則：(1)CD = AD·BD, (2)AC = AB·AD, (3)BC=AB·BD；請(qǐng)你證明定理中的結(jié)論(2)BC=AB·BD．

（結(jié)論運(yùn)用）

（2）如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，

①求證：△BOF∽△BED；

②若，求OF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②

【解析】

（1）通過證明Rt△CBD∽R(shí)t△ABC得到CB：AB=BD：BC，然后利用比例性質(zhì)即可得到BC=AB·BD；

（2）根據(jù)射影定理得BC2=BOBD，BC2=BFBE，則BOBD=BFBE，即，

加上∠OBF=∠EBD，于是可根據(jù)相似三角形的判定得到△BOF∽△BED；

（3）先計(jì)算出CE 、DE、OB的長(zhǎng)，再利用（1）中結(jié)論△BOF∽△BED得到

=，即可求得OF的長(zhǎng)．

（1）證明：如圖1，∵CD⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠BDC=∠ACB=90°，

而∠CBD=∠ABC，

∴Rt△CBD ∽R(shí)t△ABC，∴CB：AB=BD：BC，

∴ =ABBD；

（2）①證明：如圖2，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴OC⊥BO，∠BCD=90°，

∴BC2=BOBD，

∵CF⊥BE，

∴BC2=BFBE，

∴BOBD=BFBE，

即 ，

而∠OBF=∠EBD，

∴△BOF∽△BED；

②∵在Rt△BCE中，BC=6，，

∴CE=，∴DE=BC-CE=4，

在Rt△OBC中，OB=，

∵△BOF∽△BED，

∴=，即，

∴OF=.