Question

如圖，在矩形ABCD中，BC沿EF對(duì)折，與AD重合，P是BC邊上動(dòng)點(diǎn)，DP與EF交于點(diǎn)G．
（1）若AB=4，AD=6，∠EPD=90°，求S_△EPD的值；
（2）若∠PED=90°時(shí)，求證：EP²=2BP•EG；
（3）在（2）的條件下，若S_△EPD=

10

27

S_梯形EBCD時(shí)，求tan∠PEB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專(zhuān)題：

分析：（1）證明△BEP∽△CPD，列出比例式求出BP的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出CP的長(zhǎng)度，即可解決問(wèn)題．
（2）證明△BEP∽△EDP，進(jìn)而證明DP=2EG，列出比例式即可解決問(wèn)題．
（3）設(shè)AD=λAE，由△ADE∽△EDP，列出比例式求出λ即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°；而∠EPD=90°，
∴∠EPB+∠BEP=∠EPB+∠DPC，
∴∠BEP=∠DPC，而∠B=∠C，
∴△BEP∽△CPD，
∴BE：PC=BP：DC①；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC=AB=4，BC=AD=6；
由題意得：BE=AE=2；設(shè)BP=λ，
則CP=6-λ；將有關(guān)線(xiàn)段代入①得：
λ²-6λ+8=0，解得：λ=2或4；
若λ=2，則PC=4，設(shè)△BEP、△PCD，
梯形BCDE的面積分別為α、β、γ；
則α=

1

2

×2×2=2，β=

1

2

×4×4=8，
γ=

(2+4)×6

2

=18，
∴S_△EPD的值=18-2-8=8；
若λ=4，則PC=2；
運(yùn)用于上述類(lèi)似的方法，
同理可求S_△EPD的值=10．
∴S_△EPD的值為8或10．
（2）由題意得：∠BEF=∠PED=90°，
∴∠BEP=∠DEF；
∵AD∥EF∥BC，且AE=BE，
∴PG=DG，
∴EG=DG，∠DEG=∠EDG，
∴∠EDP=∠BEP，
∴△BEP∽△EDP，
∴EP：BP=DP：EP，而DP=2EG，
∴EP²=2BP•EG．
（3）同（2）的方法，同理可證△ADE∽△EDP，
∴AD：DE=AE：EP，
∴EP=

AE•DE

AD

；
設(shè)AD=λAE，則DE=

λ2+1

AE，
故：EP=

λ2+1

λ

AE；
∴S△DEP=

1

2

DE•EP=

1

2

λ2+1

λ

•

λ2+1

AE²=2×

λ2+1

λ

；
而S_梯形DCBE=18，S_△EPD=

10

27

S_梯形EBCD，
∴2×

λ2+1

λ

=18×

10

27

，解得：λ=3或

1

3

（舍去），
∴tan∠PEB=tan∠ADE=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答．