Question

7．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，E為AD上的點(diǎn)，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求證：四邊形PMAN是正方形；
（2）若點(diǎn)P在線段AC上移動(dòng)，其它不變，設(shè)PC=x，AE=y，求y關(guān)于x的解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出∠BAD=90°，AC平分∠BAD，證出PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，即可得出結(jié)論；
（2）作PF⊥BC于F，由正方形的性質(zhì)得出∠ABC=90°，AB=BC=1，∠PCF=45°，由勾股定理求出AC，證出△PCF是等腰直角三角形，得出AP=AC-PC=$\sqrt{2}$-x，BN=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，由正方形的性質(zhì)得出PM=PN，證出∠MPE=∠NPB，由ASA證明△EPM≌△BPN，得出EM=BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，證出△APM是等腰直角三角形，得出AP=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（AE+EM），即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，
∴四邊形PMAN是矩形，
∴四邊形PMAN是正方形；
（2）解：作PF⊥BC于F，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=1，∠PCF=45°，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，△PCF是等腰直角三角形，
∴AP=AC-PC=$\sqrt{2}$-x，BN=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵四邊形PMAN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠EPB=90°，
∴∠MPE=∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMA=∠PNB=90°}&{\;}\\{PM=PN}&{\;}\\{∠MPE=∠NPB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM=BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵∠PAM=45°，∠PMA=90°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（AE+EM），
即$\sqrt{2}$-x=$\sqrt{2}$（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x），
解得：y=1-$\sqrt{2}$x，x的取值范圍為0≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)與判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題（2）的關(guān)鍵．