Question

2．如圖，矩形ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=8，△GEF中，∠EGF=90°，GE=GF=2，把△GEF按圖1位置擺放（點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，其中E、G、A、B在同一直線上）．∠BAC的角平分線AN交BC于點(diǎn)M，△GEF按圖1的起始位置沿射線AN方向以每秒$\sqrt{5}$個(gè)單位長度勻速移動(dòng)（始終保持GF∥BC，GE∥DC），設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．當(dāng)點(diǎn)E移到BC上時(shí)，△GEF停止移動(dòng)（如圖3）

（1）求BM=3；在移動(dòng)的過程中，t=$\frac{6}{5}$時(shí)，點(diǎn)F在AC上；
（2）在移動(dòng)的過程中，設(shè)△GEF和△ACM重疊的面積為s，請直接寫出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍；
（3）如圖3，將△GEF繞著點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)直線GF交直線AC于點(diǎn)P，直線GF交直線BC于點(diǎn)Q，當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí)，求PC的長度．

Answer 1

分析 （1）三角形一個(gè)角的平分線，這個(gè)角平分線其對邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對應(yīng)成比例，所以$\frac{BM}{CM}$=$\frac{AB}{AC}$，先由勾股定理求出AC的值后，然后將相關(guān)線段的長代入比例式中即可求出BM的值；由FG∥BC得△AFG∽△AMC，列比例式代入即可求出時(shí)間t的值；
（2）先根據(jù)題意求出路程AG=$\sqrt{5}$t，及△GEF的面積，分四種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0≤t≤$\frac{6}{5}$時(shí)，此時(shí)，△GEF和△ACM重疊的部分為△PGH，利用比例式求出PG和GH，利用面積公式求出結(jié)論；②當(dāng)$\frac{6}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$時(shí)，此時(shí)，△GEF和△ACM重疊的部分為四邊形，利用△GEF的面積減去小三角形面積來求；③當(dāng)$\frac{8}{5}$＜t≤3時(shí)，如圖4，S=S_△EGF=2；④當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖5，△GEF和△ACM重疊的部分為△EPH，同理可得；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)CP=CQ時(shí)，設(shè)CP=x，過P作PH⊥BC于H，利用相似求QG的長，再利用勾股定理求列方程求出x的值；②當(dāng)CP=PQ時(shí)，同理可得出CP的長；③當(dāng)CQ=PQ時(shí)，作輔助線構(gòu)建相似三角形，利用比例式求QG的長，同理列方程求CP；最后寫出結(jié)論．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∴AC²=AB²+BC²，
∴AC=10，
∵∠BAC的角平分線AN交BC于點(diǎn)M，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{CM}$，
∴$\frac{BM}{CM}$=$\frac{3}{5}$，
∵BC=8，
∴BM=3，CM=5
∴由勾股定理可得：AM=3$\sqrt{5}$，
當(dāng)F在AC上時(shí)，如圖1，
此時(shí)FG∥BC，
∴△AFG∽△AMC
∴$\frac{GF}{CM}=\frac{AG}{AM}$，
∴$\frac{2}{5}$=$\frac{\sqrt{5}t}{3\sqrt{5}}$，
∴t=$\frac{6}{5}$；
故答案為：3，$\frac{6}{5}$；
（2）由題意知：AG=$\sqrt{5}$t，
△GEF的面積為：$\frac{1}{2}$GE•GF=2
當(dāng)E在AC上時(shí)，此時(shí)t=$\frac{8}{5}$，
①當(dāng)0≤t≤$\frac{6}{5}$時(shí)，如圖2，此時(shí)，△GEF和△ACM重疊的部分為△PGH，
過M作MQ∥AB，交AC于Q，
∴$\frac{QM}{AB}=\frac{CM}{BC}$，
∴$\frac{QM}{6}=\frac{5}{8}$，則QM=$\frac{15}{4}$，
∵GH∥MQ，
∴$\frac{GH}{MQ}=\frac{AG}{AM}$，
∴$\frac{GH}{\frac{15}{4}}=\frac{\sqrt{5}t}{3\sqrt{5}}$，
∴GH=$\frac{5t}{4}$，
同理得：$\frac{PG}{5}=\frac{\sqrt{5}t}{3\sqrt{5}}$，PG=$\frac{5t}{3}$，
∴S=S_△PGH=$\frac{1}{2}$×HG×PG=$\frac{1}{2}$×$\frac{5t}{4}$×$\frac{5t}{3}$=$\frac{25}{24}$t²；
②當(dāng)$\frac{6}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$時(shí)，如圖3，
此時(shí)，△GEF和△ACM重疊的部分為四邊形，
設(shè)EF與AC交于點(diǎn)P，過P作PQ⊥EG于Q，EG與AC交于H，
GH=$\frac{5t}{4}$，EH=2-$\frac{5t}{4}$，
∵EG∥AB，
∴tan∠CAB=tan∠PHG=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)PQ=4x，HQ=3x，則EH=4x-3x=x，
∴PQ=4（2-$\frac{5t}{4}$），
∴S=S四_邊形PHGF=S△_EGF-S_△PEH=2-$\frac{1}{2}$×EH×PQ=2-$\frac{1}{2}$×（2-$\frac{5t}{4}$）•4（2-$\frac{5t}{4}$），
則S=-$\frac{25}{8}$t²+10t-6；
③當(dāng)$\frac{8}{5}$＜t≤3時(shí)，如圖4，S=S_△EGF=2；
④當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖5，△GEF和△ACM重疊的部分為△EPH，
∵EG∥AB，
∴△PMG∽△BMA，
∴$\frac{PG}{AB}=\frac{MG}{AM}$，
∴$\frac{PG}{6}=\frac{\sqrt{5}t-3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$，
∴PG=2t-6，
∴S=S_△PEF=$\frac{1}{2}$×PE×PH=$\frac{1}{2}$（2t-6）²=2t²-16t+32；
（3）分三種情況：①當(dāng)CP=CQ時(shí)，如圖6，
設(shè)CP=x，則CQ=x，EQ=4-x，
過P作PH⊥BC于H，
則PH=$\frac{3x}{5}$，CH=$\frac{4x}{5}$，HQ=x-$\frac{4x}{5}$=$\frac{x}{5}$，
∵△PHQ∽△EGQ，
∴$\frac{PH}{EG}=\frac{HQ}{QG}$，
∴$\frac{\frac{3x}{5}}{2}=\frac{\frac{x}{5}}{QG}$，
∴QG=$\frac{2}{3}$，
由勾股定理得：EG²=QG²+EG²，
（4-x）²=$（\frac{2}{3}）^{2}$+2²，
（4-x）²=$\frac{40}{9}$，
x=4±$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∴CP=4±$\frac{2\sqrt{10}}{3}$；
②當(dāng)CP=PQ時(shí)，如圖7，過P作PH⊥BC于H，
設(shè)CH=x，則HQ=x，EQ=4-2x，PH=$\frac{3x}{4}$，PC=$\frac{5x}{4}$，
∵△FHQ∽△EGQ，
∴$\frac{PH}{EG}=\frac{HQ}{QG}$，
∴$\frac{\frac{3x}{4}}{2}=\frac{x}{QG}$，
∴QG=$\frac{8}{3}$，
∴（4-2x）²=$（\frac{8}{3}）^{2}$+2²，
（4-2x）²=$\frac{100}{9}$，
x₁=$\frac{11}{3}$，x₂=$\frac{1}{3}$，
∴PC=$\frac{55}{12}$或$\frac{5}{12}$；
③當(dāng)CQ=PQ時(shí)，如圖8，過P作過P作PH⊥BC于H，過Q作QT⊥AC于T，
設(shè)CP=x，則CQ=$\frac{5}{8}$x，PH=$\frac{3x}{5}$，QE=4-$\frac{5}{8}$x，
∵△PHQ∽△EGQ，
∴$\frac{PH}{EG}=\frac{HQ}{GQ}$，
∴$\frac{\frac{3x}{5}}{2}=\frac{\frac{4x}{5}-\frac{5x}{8}}{GQ}$，
∴GQ=$\frac{7}{12}$，
∴2²+$（\frac{7}{12}）^{2}$=（4-$\frac{5x}{8}$）²，
（4-$\frac{5x}{8}$）²=$\frac{625}{144}$，
x1=$\frac{146}{15}$，x2=$\frac{46}{15}$，
∴CP=$\frac{146}{15}$或$\frac{46}{15}$；
綜上所述：PC=4±$\frac{2\sqrt{10}}{4}$或$\frac{5}{12}$或$\frac{55}{12}$或$\frac{46}{15}$或$\frac{146}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形和二次函數(shù)的綜合題，考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，考查了勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)；尤其是第（2）、（3）需要分多種情況進(jìn)行討論，容易出錯(cuò)，圖形也比較多，本題的關(guān)鍵是能正確畫出各種情況的圖形．