Question

14．已知拋物線的解析式為y=x²+（2m-1）x+m²-m
（1）求證：此拋物線與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）若此拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，2），試求其與x軸兩交點(diǎn)之間的距離．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)得到結(jié)論；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把（0，2）代入y=x²+（2m-1）x+m²-m可求得m₁=2，m₂=-1，當(dāng)m=2時(shí)，拋物線解析式為y=x²+3x+2，根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)問題，通過解方程x²+3x+2=0得到拋物與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（-1，0），于是可得拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為-1-（-2）=1；當(dāng)m=-1時(shí)，拋物線解析式為y=x²-3x+2，用同樣方法可得拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為1．

解答 （1）證明：∴△=（2m-1）²-4（m²-m）
=1＞0，
∴此拋物線與x軸必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）解：把（0，2）代入y=x²+（2m-1）x+m²-m得m²-m=2，解得m₁=2，m₂=-1，
當(dāng)m=2時(shí)，拋物線解析式為y=x²+3x+2，
令y=0，則x²+3x+2=0，解得x₁=-2，x₂=-1，
所以拋物與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（-1，0），則拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為-1-（-2）=1；
當(dāng)m=-1時(shí)，拋物線解析式為y=x²-3x+2，
令y=0，則x²-3x+2=0，解得x₁=2，x₂=1，
所以拋物與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），（1，0），則拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為2-1=1．
綜上所述，拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程；△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．