如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)P為AD邊上一點(diǎn),PC的垂直平分線交PC于E交CB的延長線于F,連接PF交AB于G,連接CG.
(1)如圖1,求證:GC平分∠PGB;
(2)如圖2連接AN,試判斷線段PC與AN的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
考點(diǎn):正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)
專題:幾何綜合題
分析:(1)過點(diǎn)C作CH⊥FP于點(diǎn)H,然后求出∠CHP=∠CHG=90°,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得FC=FP,再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠FPC=∠FCP,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DPC=∠FCP,從而得到∠FPC=∠DPC,再利用“角角邊”證明△CPH和△CPD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CH=CD,再求出CH=BC,然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可;
(2)連接PN,根據(jù)(1)得到△CPH≌△CPD,Rt△CGH≌Rt△CGB,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BCG=∠HCG,∠DCP=∠HCP,然后求出∠GCP=
1
2
∠DCB=45°,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得NC=NP,然后判斷出△NCP是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得PC=
2
CN,連接DN,作NK⊥DN交DC的延長線于點(diǎn)K,根據(jù)同角的余角相等求出∠PND=∠CNK,表示出∠NPD=∠NCK=135°-∠PCD,然后利用“角邊角”證明△NPD和△NCK全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得NK=ND,然后求出∠NDK=∠NKD=∠NDA=45°,再利用“邊角邊”證明△NAD和△NCD全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得NC=NA,從而得證.
解答:(1)證明:如圖1,過點(diǎn)C作CH⊥FP于點(diǎn)H,
∴∠CHP=∠CHG=90°,
∵FE⊥平分PC,
∴FC=FP,
∴∠FPC=∠FCP,
∵正方形ABCD,
∴CD=CB,∠D=∠DCB=∠ABC=90°,AD∥BC,
∴∠DPC=∠FCP,
∴∠FPC=∠DPC,
在△CPH和△CPD中,
∠FPC=∠DPC
∠D=∠CHP=90°
CP=CP
,
∴△CPH≌△CPD(AAS),
∴CH=CD,
∵BC=CD,
∴CH=BC,
又∵AB⊥BC,CH⊥CP,
∴GC平分∠PGB;

(2)解:如圖2,連接PN,由(1)知△CPH≌△CPD,Rt△CGH≌Rt△CGB,
∴∠BCG=∠HCG,∠DCP=∠HCP,
∴∠GCP=
1
2
∠DCB=45°,
∵FE⊥平分PC,
∴NC=NP,
∴△NCP是等腰直角三角形,
∴PC=
2
CN,PN=CN,
連接DN,作NK⊥DN交DC的延長線于點(diǎn)K,
則∠PND+∠CND=∠CNK+∠CND=90°,
∴∠PND=∠CNK,
∵∠NPD=45°+(90°-∠PCD)=135°-∠PCD,
∠NCK=180°-45°-∠PCD=135°-∠PCD,
∴∠NPD=∠NCK,
在△NPD和△NCK中,
∠PND=∠CNK
PN=CN
∠NPD=∠NCK
,
∴△NPD≌△NCK(ASA),
∴NK=ND,
∴∠NDK=∠NKD=∠NDA=45°,
在△NAD和△NCD中,
AD=CD
∠NDK=∠NDA
DN=DN
,
∴△NAD≌△NCD(SAS),
∴NC=NA,
∴PC=
2
AN.
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線,綜合性較強(qiáng),難度較大,關(guān)鍵在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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2014年廣州市共有約11.2萬考生參加廣州中考,請(qǐng)用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)( 。
A、11.2×104
B、1.12×104
C、1.2×104
D、1.12×105

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(1)先化簡,再求值:(1-
1
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)÷
a2-1
a
,其中a=
3
-2.
(2)解方程:x2+4x-1=0.

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考試前,同學(xué)們總會(huì)采用各種方式緩解考試壓力,以最佳狀態(tài)迎接考試.某校對(duì)該校九年級(jí)的部分同學(xué)做了一次內(nèi)容為“最適合自己的考前減壓方式”的調(diào)查活動(dòng),學(xué)校將減壓方式分為五類,同學(xué)們可根據(jù)自己的情況必選且只選其中一類.學(xué)校收集整理數(shù)據(jù)后,繪制了圖1和圖2兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中信息解答下列問題:
(1)這次抽樣調(diào)查中,一共抽查了多少名學(xué)生?
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)請(qǐng)計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“享受美食”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);
(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該校九年級(jí)500名學(xué)生中采用“聽音樂”來減壓方式的人數(shù).

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為了了解九年級(jí)學(xué)生的體育成績,某校進(jìn)行完體育測(cè)試后,對(duì)這次體育測(cè)試成績進(jìn)行了抽樣調(diào)查,結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下,其中扇形統(tǒng)計(jì)圖中C組所在扇形的圓心角度數(shù)為36°.
被抽取的體育測(cè)試成績頻數(shù)分布表             
組別 成績 頻數(shù)
A 10<x≤14 2
B 14<x≤18 3
C 18<x≤22 5
D 22<x≤26 b
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合計(jì) a
根據(jù)以上圖表提供的信息,回答下列問題:
(1)計(jì)算頻數(shù)分布表中a與b的值;
(2)所抽取樣本中體育測(cè)試成績的中位數(shù)應(yīng)落在
 
 組;
(3)請(qǐng)估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生這次體育測(cè)試成績的平均分.(結(jié)果取整數(shù))

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先閱讀下面八年級(jí)師生的對(duì)話內(nèi)容,再解答問題.
小明:“聽說下周會(huì)進(jìn)行為期兩天的期中考試.”
劉老師:“是的,要考語文、數(shù)學(xué)、英語、物理,但具體星期幾不清楚.”
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(1)求小宇猜對(duì)的概率;
(2)若考試已定在星期四、星期五進(jìn)行,但各科考試順序沒定,請(qǐng)用列舉法求恰好在同一天考語文、數(shù)學(xué)的概率.(溫馨提示:一周只上五天課,另考試時(shí)每半天考一科)

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三張撲克牌中只有一張黑桃,三位同學(xué)依次抽取,第一位同學(xué)抽到黑桃的概率為
 

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